Yo'.

Alors je suis en première S, et j'ai un petit soucis avec un exercice sur les probas :

Imaginons que nous avons 3 évènements : A,B,C

B et C sont incompatibles.

Pour calculer (A intersection (B U C)barre)

J'ai calculer (B U C)barre et j'ai trouvé 1 pour ça (Vu qu'ils sont incompatibles)

Schéma explicatif :http://imagesup.org/images8/1304083231-img0458.jpg

Comme p(A) = 0,6
J'en déduit que (A intersection (B U C)barre) = 0,6.

Mon raisonnement est-il bon ?

Ps : Si vous pouviez me dire comme calculer l'inverse d'un union aussi.

Si on réécrit ce qu'on te demande de chercher, on obtient <math>\(p(A \cap (\overline{B \cup C})) = p(A \cap (\overline{B} \cap \overline{C}))\)</math>.
D'ailleurs, à ce propos, fais bien attention à ne pas mélanger les événements (qui sont des ensembles) et les probabilités de ces événements (qui sont un nombre entre 0 et 1).

Si on regarde ce qui se passe avec des dessins, on a :

• <math>\(\overline{B} \cap \overline{C}\)</math>
  
  
• <math>\(A \cap (\overline{B} \cap \overline{C})\)</math>
  
  

La probabilité cherchée est donc celle de l'événement en bleu et ne peut être égale à celle de A que si A n'intersecte pas B et C. Ce sont les seules indications dont tu disposes dans ton énoncé ?

Sinon, ce que tu donnes comme probabilité pour <math>\(\overline{B \cup C}\)</math> n'est pas correcte.
En effet, tu sais que <math>\(p(B \cap C)=0\)</math> car B et C sont incompatibles.
D'où <math>\(p(\overline{B \cup C})=1-p(B \cup C)=1-\left[p(B) + p(C) - p(B \cap C) \right] = 1-\left[p(B) + p(C) \right]\)</math>

" J'ai calculer (B U C)barre et j'ai trouvé 1 " : Je pense que c'est faux, à moins que p(b)+p(c)=1 [petite précision n'oublie pas les p car B U C = 1 n'est pas une probabilité] !

Voici l'énoncé : http://imagesup.org/images8/1304089989-img0459.jpg
[Exercice 2]

Alors " J'ai calculer (B U C)barre et j'ai trouvé 1 " Je suis partit du fait que les évènements sont incompatibles et donc que p(Bbarre) inclut l'évènement contraire à B, donc en même temps C et que p(Cbarre) inclut l'évènement contraire à C, donc en même temps B.

Pour en revenir à l'exercice, nous savons que p(A intersection B) = 0,3
Donc p(A U B) = p(A) + p(B) - p(A intersection B) = 0,7

Effectivement, il manquait quelques données intéressantes !

Si tu regardes le deuxième dessin ci-dessus, tu observes que l'ensemble bleu est équivalent à <math>\(A \setminus \left( (A \cap B) \cup (A \cap C) \right)\)</math>.
D'où <math>\(p(A \cap (\overline{B \cup C}))=p(A \setminus \left( (A \cap B) \cup (A \cap C) \right)) = p(A)- p((A \cap B) \cup (A \cap C))\)</math>.

Or il existe une formule te donnant la probabilité d'une union : <math>\(p(E \cup F)=p(E)+p(F)-p(E \cap F)\)</math>.
En l'appliquant ici, on obtient :
<math>\(p((A \cap B) \cup (A \cap C))=p(A \cap B)+p(A \cap C)-p((A \cap B) \cap (A \cap C))\)</math>.
Et c'est là qu'intervient le fait que B et C sont incompatibles ; en effet, leur intersection est vide, donc l'intersection de <math>\(A \cap B\)</math> et <math>\(A \cap C\)</math> le sera aussi ! D'où <math>\(p((A \cap B) \cap (A \cap C))=0\)</math>.
Finalement, on a <math>\(p((A \cap B) \cup (A \cap C))=p(A \cap B)+p(A \cap C)\)</math> que tu peux calculer avec les valeurs numériques dont tu disposes.