Citation : sylpro

A propos de ta question, juste une petite aide pour tes recherches sur ce sujet, pour dénombrer un nombre de partitions ordonnées, on utilise les arrangements.

Pourquoi les arrangements ?

Pour le nombre de partitions d'un ensemble (sans contrainte de cardinal), j'ai trouvé ça :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_de_Bell

Pardon, j'ai omis quelque chose, c'est partition ordonnée de cardinal n même si le terme partition n'est pas du tout approprié en fait dans ce que j'ai voulu dire (plutôt n-uplet). Mais de la façon dont tu l'as formulé, je l'ai compris comme ça: compter le nombre de sous-ensembles à n éléments en tenant compte de l'ordre dans un ensemble à m éléments.

J'ai dû mal comprendre...

Il est fort possible que je m'exprime mal, vu que je n'ai pas de formation mathématique particulière (j'apprends avec des documents sur le web), et que mon niveau est très faible.

Ce que je veux dire, c'est quel est le nombre façons possibles de partitionner un ensemble (disons de cardinal M) en sous-ensembles distincts chacun de cardinal n.

La notion de partitions d'un ensemble est plutôt réservée à l'algèbre linéaire. On parle plutôt d'évènements et de système complet d'évènements.

Ceci dit, pour que l'on réponde à ta question, il faut savoir si tu veux un ordre ou non sinon ça sera la combinaison, dans l'autre cas l'arrangement.

Citation : yoch

Ce que je veux dire, c'est quel est le nombre façons possibles de partitionner un ensemble (disons de cardinal M) en sous-ensembles distincts chacun de cardinal n.

Donc, si je comprends bien, ça donnerait ça avec cet exemple: disons l'ensemble {a,b,c,d,e,f,g,h}, et on veut compter le nombre de partition en sous-ensemble de 2 éléments comme la partition {a,b},{c,d},{e,f},{g,h}; c'est bien ça ?

Si c'est bien ça, je ne connais pas de formule toute faite mais ça doit se trouver !
Déjà, si m est le cardinal de l'ensemble et que l'on veut que nos partitions soient composées de sous-ensembles d'exactement n éléments, il faut que n divise m.
Donc le nombre de sous-ensembles dans une partition de ce type est donc d=m/n.

Dans le premier sous-ensemble de la partition, tu as le choix de mettre n éléments parmi m; ensuite dans le deuxième n parmi m-n etc... dans le (d-1)-ième sous-ensemble n parmi m-(d-2)n éléments et dans le d-ième, ben, ce qui reste, donc un seul choix possible, mettre ce qu'il y a !
Ça donnerait donc une formule de ce genre, si on appelle N le nombre de partitions voulues (et puis un petit changement d'indice pour rendre ça plus joli - ou pas):

<math>\($ \displaystyle N=\sum_{i=0}^{d-2}\binom{m-in}{n}=\sum_{i=2}^{d}\binom{in}{n}$\)</math>

Maintenant, reste plus qu'à calculer ça... [part prendre un papier et un crayon]... Bon, je verrais ça demain, il est tard (bon, ok, j'ai plus le courage de continuer le calcul ).

Après, je me suis peut-être (qui a dit sûrement ?) trompé dans mon raisonnement et/ou dans l'interprétation de ta question, mais, comme je l'ai dit, il est tard, et je demande donc un peu d'indulgence

J'ai fait ce calcul page précédente, sylpro (enfin à peu de choses près).

Ça donne soit simplement <math>\(M!\)</math> si on ordonne l'ensemble des sous-ensembles, soit <math>\(\frac{M!}{(\frac{M}{n})!}\)</math> si on ne l'ordonne pas (je suppose que c'est ce dernier cas qui nous intéresse). Enfin je pense.

Citation : sylpro

Si c'est bien ça, je ne connais pas de formule toute faite mais ça doit se trouver !
[...]

Dans le premier sous-ensemble de la partition, tu as le choix de mettre n éléments parmi m; ensuite dans le deuxième n parmi m-n etc... dans le (d-1)-ième sous-ensemble n parmi m-(d-2)n éléments et dans le d-ième, ben, ce qui reste, donc un seul choix possible, mettre ce qu'il y a !

Oui, ça doit être ça.
J'avais fini par tenir le même raisonnement, mais je n'avais plus accès à internet. Merci de confirmer.