Bonsoir !

J'ai un exercice qui me tient tete depuis un bon moment, le voici :

On a une fonction <math>\(f : \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R}\)</math> de classe <math>\(C^1\)</math>.

On suppose que les fonctions <math>\(\frac{\partial f}{\partial x}\)</math> et <math>\(\frac{\partial f}{\partial y}\)</math> sont constantes.

Nous devons montrer qu'il existe trois réels <math>\(\alpha , \beta , \gamma\)</math> tels que : <math>\(\forall (x,y) \in \mathbf{R}^2 , f (x,y) = \alpha + \beta x + \gamma y\)</math>

Pour <math>\(\gamma\)</math> et <math>\(\beta\)</math>, tout va bien, je fais les dérivées partielles de la fonction je tombe evidemment sur ces 2 constantes, ce qui va bien avec les hypothèses, mais comment prouver l'existence du <math>\(\alpha\)</math> ?

Quelqu'un aurait-il une indication ?

On suppose que <math>\(\frac{\partial f}{\partial x}= C\)</math> ; que peut-on dire sur f par intégration ? comment peut-on l'écrire ?
Utilise alors ta deuxième hypothèse : <math>\(\frac{\partial f}{\partial y}=C'\)</math> et applique-là à l'expression de f que tu viens de trouver.
Une dernière petite intégration te permet de trouver ce que tu cherches.

Je vois l'idée, je n'avais pas pensé à intégrer ( évidemment sur un chapitre de dérivée ! >< )

Je te remercie pour le tuyau !

Bonne fin de soirée =)

Passe le sujet en résolu alors