Bonjour à tous

J'ai un DM de mathématiques à rendre pour vendredi, et dans le dernier exercice je dois résoudre un problème ouvert.
Voici l'énoncé :

"Dans une plaque de carton carrée de 1,20m de côté, on découpe des carrés aux quatre coins afin de construire une boîte sans couvercle. Comment faire pour obtenir une boîte de volume maximal ?"

En gros voici ma démarche :

• Je pose l'expression du volume, en fonction du côté d'un carré à découper
• J'étudie les variations de la dérivée de f(x) et d'après mon tableau de variation, j'en déduis le volume maximal.

Je pose ensuite les différentes données dont j'aurai besoin.
Côté du grand carré = 1.2 ou bien <math>\(\frac{5}{6}\)</math>
Côté des petits carrés (dans les coins) = <math>\(x\)</math>

Longueur de la base de la boîte = <math>\(\frac{5}{6} - 2x\)</math>

Aire de la base de la boîte: <math>\(A = (\frac{5}{6} - 2x)^2\)</math>
Hauteur de la boîte : <math>\(H = x\)</math>

Voici ce que j'ai rédigé par la suite :

"Le volume d'un pavé équivaut à l'aire de sa base multipliée par sa hauteur.
Soit <math>\(f(x)\)</math> le volume de la boîte en fonction du côté d'un carré à découper.

<math>\(f(x) = A \times H\)</math>
<math>\(f(x) = x(\frac{5}{6} - 2x)^2\)</math>
<math>\(f(x) = x(\frac{36}{25} - \frac{24}{5}x + 4x^2)\)</math>

<math>\(f(x) = 4x^3 - \frac{24}{5}x^2 + \frac{36}{25}x\)</math>

Etudions maintenant les variations de <math>\(f(x)\)</math> à l'aide de sa dérivée <math>\(f'(x)\)</math>.

<math>\(f'(x) = 12x^2 - \frac{48}{5}x + \frac{36}{25}\)</math>"

Bon, ben ça tombe bien (ou presque...), je tombe sur un polynôme de degré 2. C'est donc facile de retrouver des racines, et de dresser un tableau de variation de la fonction, mais le problème est que <math>\(f(x)\)</math> n'a pas de minimum propre, donc mon raisonnement ne marche pas.

P.S. j'ai également essayé de travailler avec la forme factorisée de <math>\(f(x)\)</math>, ce qui ne nécessite pas de calcul de dérivées, et autres. Le problème est que la fonction admet un MINIMUM, et non pas un maximum ; or on ne demande pas, dans l'énoncé de trouver un volume minimal, mais bien maximal. Peut-être que mon raisonnement est faux, mais je ne vois pas d'autre manière de calculer le volume que celle que j'ai énoncé au début.

Merci de votre aide !

Salut, tout est bon dans ton raisonnement, même les calculs, tout va bien !
Juste une faute de frappe, ce n'est pas <math>\(\frac{5}{6}\)</math> mais <math>\(\frac{6}{5}\)</math>, mais c'est rétabli dans ton calcul.

Bon, j'ai bien vérifié que ton calcul du volume en fonction de <math>\(x\)</math> était juste, et il l'est.

Ensuite, tu cherches le maximum de cette fonction, et c'est normal... mais tu le cherches entre 0 et 0.6, les valeurs extrêmes de x dans ton problème.

Ainsi, en traçant la fonction, on voit qu'elle admet bien un maximum vers 0.2...
Je te laisse vérifier tes calculs sur les zéros de la dérivée et sur ses changements de signes en ces points (donc en 0,2 environ, et forcément en 0,6) pour voir qu'on a bien un maximum en 0,2.

Voilou. Pour t'en convaincre, voici le graphe de la fonction.

Edit:
J'ai fait les calculs pour les racines de la dérivée, je trouve bien 0,2 et 0,6.

Sylpro : merci de m'avoir éclairé ! Je suis étourdi visiblement. ^^'
C'est vrai qu'on ne le cherche uniquement qu'entre 0 et 0.6 puisque 2x ne peut dépasser 1.2. Merci beaucoup