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Edité par HdghgGdfsgs 3 septembre 2019 à 1:23:08

Bonjour,

Pour la Q1, il me semble que ne telles hypothèses ne peuvent être formulées, puisque ces équations modélisent une population et non une "récolte". Il semble plutôt que "l'hypothèse cruciale" est que les taux de croissance des populations sont constant (cela suppose entre autres que, dans le cas des proies, si les prédateurs sont absents alors il y a abondance de nourriture et pas de compétition entre les différents êtres, etc...)

Dans la Q2, il faut ajouter des termes de disparition de l'espèce des proies, par exemple ajouter -E*u(t) à la première équation ou E est un coefficient de disparition (ne pas oublier de le faire pour la deuxième !)

À la Q3 il faut résoudre le systèmes avec les conditions initiales imposées, rien de plus. Les conditions initiales doivent probablement simplifier la résolution qui à première vue n'a pas l'air triviale.

Gardez tout de même en mémoire que mes indications non aucune valeur de garantie quant à leur véracité .

je pense que si \(v(0)=0\), cela veut dire qu'il n'y a pas de prédateur à l'instant initial , donc c'est un système sans prédateur à tout instant ultérieur.On peut donc écrire  \(u'(t)=\alpha u(t)\) qui montre que il y a une croissance exponentielle des proies.

De même si \(u(0)=0\), on a un système sans proie à l'instant initial , donc il reste sans proie ultérieurement et on a  \(u'(t)=-\beta u(t)\) qui montre une décroissance exponentielle des prédateurs qui n'ont plus rien à manger ! 

Evidemment ces deux hypothèses extrêmes sont peu réalistes, comme le suggère la question.  

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Edité par Sennacherib 4 septembre 2019 à 23:17:13

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Edité par HdghgGdfsgs 5 septembre 2019 à 2:29:09

A l'instant \(t=t_0\), on a alors les conditions \(u(t_0)=0\) ( hypothèse de l'énoncé), associé à un certain \(v(t_0)=v_i\).

On peut alors vérifier que le couple \(0,v_i e^{-\delta(t-t_0)} \) est une solution du système vérifiant les conditions initiales à \(t=t_0\). On utilise alors le théorème d'unicité admis , rappelé dans  l'introduction, pour les conditions initiales \(0,v_i\). Donc nécessairement la solution en u est \(u(t)=0, \forall t\) .

Alors si \(u(0)>0 \) et si il existait \(t\) tel que \(u(t)<0\), \(u(t)\) ne peut être strictement nulle entre 0 et t, il existerait ainsi une solution non nulle , ce qui contredit le résultat précédent. Donc \(u(0)>0 \Rightarrow u(t)>0 \forall t\)

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Edité par Sennacherib 6 septembre 2019 à 9:02:18

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Edité par HdghgGdfsgs 7 septembre 2019 à 23:06:42

Merci beaucoup pour votre réponse.

Alors pourriez-vous m'aider pour la dernière question de la partie 1, donc la 6 svp ?

J'ai compris la 5 grâce à vous !

Merci beaucoup !

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Edité par HdghgGdfsgs 7 septembre 2019 à 23:07:01