Bonjour à tous,
j'ai un td à faire en mathématiques financières et je bute sur une question. J'ai beau chercher (du coté des suites entre autre), je n'arrive pas à trouver la réponse. Voici l'un des exercices de ce TD :

On suppose un capital qui augmente de 3% par an.
1.) A ce taux, en combien de temps ce capital aura-t-il doublé ?
--) Je trouve que l'énoncé n'est pas clair. On ne sait pas si ceux sont des intérêts simples ou composés. Bref, j'ai mis que ceux sont des intérêts composés. Cela me semble logique pour un placement.
Après quelques calculs en passant par les logarithmes, j'arrive à trouver n = 23.45 où n correspond au nombre de périodes de référence. Ici, on a donc 23,45 ans. Question "facile".

2.) Question qui pose problème :
Démontrez que le temps nécessaire pour que le capital double est voisin de <math>\(70/g\)</math> avec g le taux de croissance en pourcentage.

--) Je ne vois pas comment faire la démonstration. J'ai cherché du coté des suites géométriques, mais je ne vois pas par quoi commencer.

Donc si quelqu'un pouvait éclairer ma lanterne ... Merci d'avance pour vos réponses.

C'est des suites géométriques toutes simples avec des calculs qui ne dépassent pas le bac+1.

Indice

Si le taux de croissance annuel est de <math>\(g\%\)</math>, alors au bout de <math>\(x\)</math> années, tu auras multiplié ton capital par <math>\(\left(1 + \frac g{100}\right)^x\)</math>.

Donc pour le multiplier par 2, il faut le nombre d'années suivant :

<math>\(x = \frac{\ln2}{\ln\left(1+\dfrac g{100}\right)} \approx \frac{\ln2}{\left(\dfrac g{100}\right)} \approx \frac{69}{g}\)</math>

En effet, il faut se rappeler que pour <math>\(\varepsilon\)</math> petit on a <math>\(\ln(1+\varepsilon) \approx \varepsilon\)</math>.

Merci beaucoup pour vos réponses, j'avais oublié ce développement limité