Bonjour,

J'ai un petit problème avec un exercice que je fais (pour réviser un contrôle) et je n'arrive pas du tout à trouver les réponses :

1)sachant que <math>\(\cos {\frac{9\pi}{5}} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}\)</math> calculer la valeur exacte de <math>\(\sin {\frac{9\pi}{5}}\)</math>

2) En déduire <math>\(\cos {\frac{\pi}{5}}\)</math> et <math>\(\sin {\frac{\pi}{5}}\)</math>

Voilà mon avancée :

1) <math>\(\sin^2x + \cos^2x = 1\)</math>

<math>\(\sin^2x = 1 - (\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2\)</math>

et là, je bloque

Merci de votre aide précieuse.

pour ce qui est de 1) , tu continues avec <math>\(\sin \frac{9\pi}{5} = \pm \sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{5} + 1}{4})}^2}\)</math> mais quand est ce que le sinus est positif ou négatif ?
2)un indice : <math>\(\frac{9\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} - \frac{\pi}{5}\)</math>

Salut !

C'est <math>\(\sin^2 \frac{9\pi}{5} = 1 - (\frac{\sqrt{5}+1}{4})^2 = 1 - \frac{5 + 1 + 2\sqrt{5}}{16} = 1- \frac{3 + \sqrt{5}}{8} = \frac{8 - 3 - \sqrt{5}}{8} = \frac{5 - \sqrt{5}}{8}\)</math>.

Donc <math>\(\sin \frac{9\pi}{5} = \pm \frac{ \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{4}\)</math>.

Il ne te reste qu'à discuter, selon la valeur et le cadran auquel ça correspond, pour trouver le signe !


Pour la deuxième question, il faut remarquer que <math>\(2\pi = \frac{\pi}{5} + \frac{9\pi}{5}\)</math>

Donc, j'arrive à ça :

<math>\(\sin \frac{9\pi}{5} = \pm \frac{ \sqrt{5 - \sqrt{5}}}{\sqrt{8}}\)</math>

Mais je ne comprend pas comment faire la question suivante, pas du tout

enfait le sinus est unique, donc c'est soit la valeur positive ou alors la négative, mais je pense que sur le cercle trigonomètrique, les angles entre <math>\(0\)</math> et <math>\(\pi\)</math> n'ont pas de sinus negatif.
pour ce qui est de la deuxième question, <math>\(cos(\frac{9\pi}{5}) = cos(2\pi - \frac{\pi}{5})} = cos(-\frac{\pi}{5}) = cos(\frac{\pi}{5})\)</math>

<math>\(\sin(\frac{9\pi}{5}) = \sin(-\frac{\pi}{5}) = -\sin(\frac{\pi}{5})\)</math>

mais comment passer de

<math>\(-\sin(\frac{\pi}{5})\)</math>

à

<math>\(\sin(\frac{\pi}{5})\)</math>

Citation : fab@c++

mais comment passer de <math>\(-\sin(\frac{\pi}{5})\)</math> à <math>\(\sin(\frac{\pi}{5})\)</math>

Euh, ben… C'est tellement trivial que je ne comprends pas ce que tu vois comme difficulté. Il te suffit de changer le signe…

La fonction sinus est impaire.

<math>\(-\sin(\frac{\pi}{5})=\sin(\frac{9\pi}{5})\)</math>
donc <math>\(\sin(\frac{\pi}{5})=-\sin(\frac{9\pi}{5})\)</math>