Salut,
S'il vous plaît, quelqu'un pourrait m'indiquer la réponse à cette question on me disant le pourquoi ??

Si A est un matrice carrée d'ordre n, tel que pour n'importe quelle vecteur colonne b, de n lignes, le système d'équations linéaires <math>\(AX = b\)</math> à solution, donc le système homogène <math>\(A^tX = 0\)</math> à solution unique.

Vrai ou faux ? Et pourquoi =S (Je vois plutôt la matrice A comme une matrice de changement de base, mais en ce qui concerne la matrice <math>\(A^t\)</math> .. je ne sais pas)

Merci,

C'est faux :
prend le système :
x+y=1
et x+y=1
Tu peut facilement traduire ça sous la forme AX=b et ce système à une solution ( et même une infinité )
Le système qui correspond à <math>\(A^tX = 0\)</math> ( d'ailleurs moi je noterais plutôt ça <math>\(^tAX = 0\)</math> mais bon... ) est :
x+y=0
x+y=0
qui a aussi une infinité de solution ( et donc la solution n'est pas du tout unique... )

edit: ah oui en fait c'est pour tout b, donc ça va pas...

AX=0
X est solution si X est dans le noyau de A.

Donc a priori tu n'as jamais qu'une seule solution, sauf si A est inversible et dans ce cas X=0.

Tu n'as qu'à remplacer X par 3X...


Sinon <math>\(A^tX=0\)</math> ne veut rien dire

Au vrai dire, ma solution dit que c'est vrai :/ mais je ne sais pas pourquoi >.<

déjà, je suis pas sur d'avoir bien compris ton énoncé, Ax=b a une solution est une condition posé dans l'énoncé, ou tu as déduit ça d'avant? parce si c'est une déduction, c'est pas bon...

Si c'est une condition, y a peut-être quelque chose, je vais y réfléchir...

Bonjour,
L'énoncé me paraît pas trés clair ( ...c'est quoi S qui sort d'un chapeau?, n'y a-t-il pas d'erreur de transcription ) parce que tel que c'est écrit

Citation

pour n'importe quelle vecteur colonne b

cela implique A non singulière pour être possible avec <math>\([X]=A^{-1}[ b]\)</math>
Mais à partir de là <math>\(AX=0\)</math> ne peut avoir que X= [0] comme solution (unique certes...)
Le fait que celà soit A ou <math>\(A^t\)</math> ne change rien mais on voit mal ce que vient faire la transposée

Pour b tu peux prendre n'importe quel vecteur de la base canonique de <math>\(\mathbb{K}^n\)</math> qui se trouve donc dans l'image de A. Du coup A est inversible, donc sa transposée aussi et donc AX=0 donne X=0 comme seul et unique solution.