Bonjour,

Encore moi avec une question analogue sur une autre formule concernant la somme des diviseurs, je refais un topic pour que ce soit plus propre.

J'ai pu remarquer que :

$$\frac{p}{\sigma(p)} + \frac{p2}{\sigma(p*p2)} + \frac{p3}{\sigma(p*p2*p3)} = \frac{n-1}{n}$$

p, p2 et p3 3 nombres premiers distincts.

n un entier naturel quelconque.

sigma la somme des diviseurs.

Exemple avec p=3 et p2=109

$$\frac{3}{\sigma(3)} + \frac{109}{\sigma(3*109)} = \frac{439}{440}$$

J'aimerais le démontrer. Pour le premier rapport c'est facile : $$\sigma(p)=p+1$$.

Par contre pour montrer la même chose pour la somme je bloque, peut-être existe-t-il une propriété pour le sigma du produit de deux nombres premiers ?

Je vous remercie par avance.

EDIT : j'ai trouvé la propriété $$\sigma(p*p2*p3) = \sigma(p)*\sigma(p2)*\sigma(p3) = (p+1)*(p2+1)*(p3+1)$$ je pense que j'y suis presque dans le raisonnement.

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Edité par Craw 7 avril 2019 à 13:29:41

Et dans ton exemple, le dénominateur de la fraction de droite vaut (p+1)*(p2+1) : 440=(3+1)*(109+1)

Et ce n'est probablement pas une coïncidence.

Effectivement c'était tout bête.

Par contre ça ne semble pas marcher quand p1, p2 et p3 ne sont pas distincts.

il y a effectivement un souci qui vient du fait que la relation \(\sigma(pq)=\sigma(p)\sigma(q)\) n'est vraie que si \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux ( a fortiori s'ils sont premiers tout court , mais nécessairement distincts . Donc \(\sigma(p.p ) \neq \sigma(p)\sigma(p)\).

Si \(p\) est premier, il est clair que \(\sigma(p^n)=1+p+p^2+....+p^n\) soit \(\frac{p^{n+1}-1}{p-1}\)

cette relation est à la base du calcul de \(\sigma(n)\) pour \(n\) quelconque après décomposition en produits de puissances des facteurs premiers.

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Edité par Sennacherib 7 avril 2019 à 19:40:30