Pour exprimer un vecteur quelconque dans un repère quelconque, il faut projeter le vecteur sur les vecteurs de la base du repère en question. Dans ton cas, il faut donc projeter le vecteur \(\vec e_y\) sur \(\vec e_{x,1}\) et sur \(\vec e_{y,1}\). Et comme tu n'as que des vecteurs unitaires, il n'y a plus que le cosinus de l'angle entre ces vecteurs qui compte.
La projection de \(\vec e_y\) sur \(\vec e_{x,1}\) s'écrit : \(\vec e_y \cdot \vec e_{x,1} = \cos(\angle(\vec e_y,\vec e_{x,1})) = -\sin\alpha\)
La projection de \(\vec e_y\) sur \(\vec e_{y,1}\) s'écrit : \(\vec e_y \cdot \vec e_{y,1} = \cos(\angle(\vec e_y,\vec e_{y,1})) = \cos\alpha\)
Une technique que mon prof de physique de sup nous avait appris qui est vachement utile pour projeter des vecteurs dans des bases cauchemardesques. Tu imagines l'angle nul, et tu regarde sur quel vecteur de la base ou tu veux projeter ton vecteur est orienté, et tu regarde si les deux vecteurs vont dans le même sens ou dans le sens inverse. Tu mets + ou - \(\cos \alpha \) sur ce vecteur en fonction. De même tu imagines que ton angle vaut \(\pi/2\) et tu regardes si il est selon + ou - le second vecteur de la base, puis tu mets + ou - \(\sin \alpha \).
- faire un schéma avec \(\alpha\) petit - si les projections sont grandes, c'est un \(cos\) - si les projections sont petites, c'est un \(sin\) - le signe se déduit facilement du dessin
Quand on a des projections vraiment tordues à faire le cercle trigonométrique n'est pas une très grande utilité, surtout en SI ou on peut vraiment s'y perdre avec des inclinaisons dans tous les sens. Je sais que cette technique m'a sauvé aux Mines en SI cette année par exemple, pour une des premières questions.
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