Bonsoir à tous, voilà j'ai une petite question. Lors de ma seconde année de prépa, l'an dernier j'ai appris que la loi normale a pour paramètre son espérance et sa variance. Seulement voilà, cette année ma prof de stat a écrit au tableau que la loi normale a comme paramètre l'espérance et ... l'écart type, qui correspond à la racine de la variance. Je viens de vérifier, sur les cours en ligne qu'elle a mi, toutes ses lois normales ont sigma (l'écart type) comme second paramètre.

A t-elle raison d'écrire cela ? Est-ce une faute ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Non, ce n'est pas une erreur une loi normale d'espérance <math>\(m\)</math> et d'écart type <math>\(\sigma\)</math> a pour densité <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left (\frac{x-m}{\sigma} \right )^2}\)</math>.
Si on la définit à partir de l'espérance <math>\(V\)</math> la densité sera la même puisque <math>\(\sigma=\sqrt{V}\)</math>: la densité sera donc, en fonction de <math>\(m\)</math> et de <math>\(V\)</math>, <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi V}}e^{\frac{(x-m)^2}{\sigma}}\)</math>.

Edit: Je crois qu'il est usuel de noter la loi normale par <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math>, donc la définir par la variance est tout à fait... normal

Re-Edit: j'ai laissé le <math>\(\sigma\)</math> dans la formule précédente: il fallait lire <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi V}}e^{\frac{(x-m)^2}{V}}\)</math>

Citation : sylpro

Non, ce n'est pas une erreur une loi normale d'espérance <math>\(m\)</math> et d'écart type <math>\(\sigma\)</math> a pour densité <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left (\frac{x-m}{\sigma} \right )^2}\)</math>.
Si on la définit à partir de l'espérance <math>\(V\)</math> la densité sera la même puisque <math>\(\sigma=\sqrt{V}\)</math>: la densité sera donc, en fonction de <math>\(m\)</math> et de <math>\(V\)</math>, <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{ 2\pi V}}e^{\frac{(x-m)^2}{\sigma}}\)</math>.

Edit: Je crois qu'il est usuel de noté la loi normale par <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math>, donc la définir par la variance est tout à fait... normal

On peut donc mettre ces 2 paramètres : sigma et variance en second paramètre ? C'est bizarre quand même d'avoir la possibilité de mettre 2 paramètres différents pour une même variable. Si <math>\({\sigma}}\)</math>=2, donc la variance vaudra 4. Je ne comprends pas pourquoi il est donc juste d'écrire <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma)\)</math> ou <math>\(\mathcal{N}(m,V)\)</math> pour la même var suivant la même loi normale, car <math>\(\sigma\)</math> différent de <math>\(V\)</math>.

Je confirme que l'habitude est de mettre la variance en second paramètre, mais souvent on ne donne pas un nom spécifique à la variance, on l'écrit directement comme le carré de l'écart-type : <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math>.
Ceci dit je ne trouve pas ça vraiment choquant que des gens le note en fonction de l'écart-type si ça leur fait plaisir. En général les notations font qu'il n'y a vraiment aucune ambiguïté.

L'écart type au carré, je suis d'accord, pas de soucis, mais juste l'écart type, ça je trouve bizarre.

Bizarre car ce n'est pas usuel, mais ça ne gène aucunement car les deux façons de définir la loi sont bien-sûr équivalente.

Par conséquent, définie par la variance ou l'écart type, il te suffit de connaitre la densité de proba pour l'un ou pour l'autre pour avoir les deux: c'est juste une question de racine ou de carré à enlever/ajouter. Conclusion, retient que la loi normale <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math> a pour densité <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left (\frac{x-m}{\sigma} \right )^2}\)</math> où <math>\(\sigma\)</math> est l'écart type, et si besoin est, tu passes à la variance avec <math>\(V=\sigma^2\)</math>.

Citation : sylpro

Bizarre car ce n'est pas usuel, mais ça ne gène aucunement car les deux façons de définir la loi sont bien-sûr équivalente.

Par conséquent, définie par la variance ou l'écart type, il te suffit de connaitre la densité de proba pour l'un ou pour l'autre pour avoir les deux: c'est juste une question de racine ou de carré à enlever/ajouter. Conclusion, retient que la loi normale <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math> a pour densité <math>\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\left (\frac{x-m}{\sigma} \right )^2}\)</math> où <math>\(\sigma\)</math> est l'écart type, et si besoin est, tu passes à la variance avec <math>\(V=\sigma^2\)</math>.

Ok, donc si j'ai bien compris, écrire <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma)\)</math> est juste ? C'est ça que je trouve étrange. Sigma au carré ok, mais ça je trouve que c'est pas très juste. Justement, si on te donne <math>\(\mathcal{N}(1,2)\)</math> et que 2=<math>\(\sigma\)</math>, pour moi c'est pas la même chose que <math>\(\mathcal{N}(1,4)\)</math> où 4=V

C'est juste si tout le monde se met d'accord sur cette définition lorsque tu l'emploies. Si c'est ambiguë, il faut préciser, je note la loi normale <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma)\)</math> où <math>\(\sigma\)</math> est l'écart-type. et dans ce cas, <math>\(\mathcal{N}(1,2)\)</math> aura tout son sens et sera différent de <math>\(\mathcal{N}(1,4)\)</math>.

Par contre, dire simplement ma variable aléatoire suis une loi <math>\(\mathcal{N}(1,2)\)</math> sera inutile si tu ne précises pas quelle définition tu utilises. Donc avec la définition <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma)\)</math>, la loi <math>\(\mathcal{N}(1,2)\)</math> sera la même que <math>\(\mathcal{N}(1,4)\)</math> avec la définition <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math>.

Pour conclure, je me répète peut-être, mais il me semble bien que c'est la définition <math>\(\mathcal{N}(m,\sigma^2)\)</math> qui est la plus largement répandue donc avec la variance. Donc une une variable de loi <math>\(\mathcal{N}(1,4)\)</math> aura pour variance 4 et pour écart type 2.

Bref, tout dépend ce sur quoi on s'est mis d'accord au départ !