Bonjour à tous.
Voilà une question me trouble l'esprit énormément.
Un chiffre n mis à la puissance y donne : <math>\(n*n*n\)</math>... ( y fois ).
Mais un chiffre n mis à la racine <math>\(\sqrt[y]{n}\)</math> ou bien à la puissance <math>\(n^{\frac{1}{y}}\)</math>, comment se calcul-t-il ?
Exemple, <math>\(7^2 = 49\)</math>, mais <math>\(\sqrt[2]{49} = 7\)</math>, on le sait par la réciproque, ou un calcul m'échappe ?
Merci

En effet, c'est par la réciproque qu'on le fait.
On dispose cependant de formules pour approximer une racine, par exemple : tu prends la suite <math>\(u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n+\frac{x}{u_n})\)</math>, elle converge vers <math>\(\sqrt{x}\)</math>

Donc dans ma calculette il y a toutes les réciproques de toutes les racines carrées d'enregistrées ? Ex : <math>\(\sqrt[6.33]{52} = 1.87\)</math>, c'est qu'on le lui a dit, ou qu'elle approximative ou quoi ?

A mon avis, il doit y avoir quelques valeurs enregistrées comme les racines de nombres premiers. Après pour tout ce qui est racine carrée et cubique, je pense que la calculette fait une décomposition en facteurs premiers, et te donne le résultat approché.
Après pour les racines un peu plus compliquées, j'avoue ne pas savoir.

Il y a forcément des tas d'astuces d'optimisation, mais déjà pour les puissances quelconques on peut se rapporter à quelque chose de davantage "maîtrisé" : <math>\(a^b = e^{b \cdot \ln(a)}\)</math>.

Après, la calculette peut calculer les exponentielles et les logarithmes par leur développement limité.

Citation : Wawane63

Donc dans ma calculette il y a toutes les réciproques de toutes les racines carrées d'enregistrées ? Ex : <math>\(\sqrt[6.33]{52} = 1.87\)</math>, c'est qu'on le lui a dit, ou qu'elle approximative ou quoi ?

Non non, elle approxime.
Par exemple, pour <math>\(\sqrt2\)</math> avec 9 décimales, en prenant <math>\(u_0=1\)</math> (le choix de <math>\(u_0\)</math> est arbitraire) :
<math>\(u_1 = \frac{1}{2}(1+\frac{2}{1}) = 1.5\)</math>
<math>\(u_2 = \frac{1}{2}(1.5+\frac{2}{1.5}) = 1.416666667\)</math>
<math>\(u_3 = \frac{1}{2}(1.416666+\frac{2}{1.416666}) = 1.414215686\)</math>
<math>\(u_4 = \frac{1}{2}(1.414215+\frac{2}{1.414215}) = 1.414213562\)</math>

Dans les calculettes, on utilise la méthode CORDIC : http://fr.wikipedia.org/wiki/CORDIC ou dérivés (http://www.mlfmonde.org/IMG/pdf/31_40_ams62.pdf).
En calcul de haute précision, on passe par l'inverse de la racine carrée.
Pour du calcul haute précision très très rapide : http://cr.yp.to/arith.html (attention aux maths)

Citation : A-spec59

A mon avis, il doit y avoir quelques valeurs enregistrées comme les racines de nombres premiers.

Et tu penses que la machine a en mémoire quelles racines de quelles nombres premiers?
Les 100 premières racines entières des 10 premiers milliards de nombres premiers, par exemple?

Elle a un disque dur?

Citation : Wawane63

Donc dans ma calculette il y a toutes les réciproques de toutes les racines carrées d'enregistrées ? Ex : <math>\(\sqrt[6.33]{52} = 1.87\)</math>

C'est pas une racine carré, ça

Merci pour ces réponses, je me suis sens moins ahuri devant ma belle casio.
@victor
C'est une violente faute d'inattention, je mérite d'être dilapidé.

Citation : Wawane63

Merci pour ces réponses, je me suis sens moins ahuri devant ma belle casio.
@victor
C'est une violente faute d'inattention, je mérite d'être dilapidé.

C'est l'argent que l'on dilapide.
Les gens que l'on lynche, en général, ils sont plutôt lapidés.

Mais ne t'en fais pas, on ne te lynchera pas (tu peux donc... éructer de joie ).

Sur ce HS, je déplace le topic vers le forum de maths.

Citation : victor

Citation : A-spec59

A mon avis, il doit y avoir quelques valeurs enregistrées comme les racines de nombres premiers.

Et tu penses que la machine a en mémoire quelles racines de quelles nombres premiers?
Les 100 premières racines entières des 10 premiers milliards de nombres premiers, par exemple?

Elle a un disque dur?

C'est pas si dur que ça, moi même je connais par cœur toutes les racines entières de tous les nombres premiers, les voici :

Citation : Thomash

C'est pas si dur que ça, moi même je connais par cœur toutes les racines entières de tous les nombres premiers, les voici :

Ya une tentative de blague?

Non, simplement la vérité : un nombre premier ne peut pas avoir de racine entière, par définition.

En fait, je crois que ce qu'on appelait "racine entière", ici, c'est une racine n-ième d'un nombre, avec n entier mais pas forcément égal à deux.
Ce que voulait dire victor est donc de mettre en mémoire toutes les racines n-ièmes des 10 premiers milliards de nombre premiers, avec n plus petit que 100.

Oui, sauf que par définition, si <math>\(a > 1\)</math> admet une racine n-ième entière <math>\(b\)</math>, alors, <math>\(a = b \times b \times \cdots \times b\)</math>, donc <math>\(b\)</math> divise <math>\(a\)</math>, ce qui entre en contradiction avec la définition d'un nombre premier.

Mais personne n'a jamais dit que la racine n-ième devait être entière...
Dans le contexte de cette discussion, les racines entières de 7 (par exemple) sont :
<math>\(\sqrt[2]{7}, \sqrt[3]{7}, \sqrt[4]{7}, ... \sqrt[100]{7}, ...\)</math>
qui ne sont pas des nombres entiers, mais qui sont des racines "entières" au sens où l'"exposant" de la racine est entier.