bonjour , j'ai besoin de savoir si ma démonstration est correcte dans cette exercice : montrer par récurrence que : <math>\(\forall{n\geq{24}\)</math> ,<math>\(\exists{(a,b)\in{\mathbb{N}^2}\)</math> tel-que : <math>\(n=5a+7b\)</math>.Voici ma démonstration : pour <math>\(n=24\)</math> on a <math>\(24=10+14=5.2+7.2\)</math> donc l’hypothèse est vrai pour <math>\(n=24\)</math> , on suppose que :<math>\(\exists{(a,b)\in{\mathbb{N}^2}\)</math>,(<math>\(n=5a+7b\)</math>) et on démontrer que : <math>\(n+1=5a+7b\)</math>.on a <math>\(n+1=5a+7b\)</math> implique <math>\(n=5a+7b-1\)</math> implique <math>\(n=5(a+1)+7(b-1)+1\)</math> implique <math>\(n-1=5(a+1)+7(b-1)\)</math>,or <math>\(n\geq{24}\)</math> stipule que <math>\(b>1\)</math> donc <math>\(n-1=5a'+7b'\)</math> cqfd... Merci.

Plusieurs petites erreurs :
*"n>24 stipule que b>1" : ah bon ? quel est la justification ?
* Dans la récurrence, il faut montrer que si la relation est vraie au rang N, alors elle est vraie au rang N+1. Toi, tu as montré que si elle vraie au rang N+1, alors elle est vraie au rang N-1.
Il faut donc raisonner dans ce sens là : on prend la formule au rang n, ici :
il existe a,b entiers tq n=5a+7b, ce qui implique : n+1=5a+7b + 1.

Et il faut finir à partir de là (= écrire la formule au rang n+1). Astuce :


Note : tu est en train de démontrer un cas particulier du théorème de Bezout.

la rédaction me semble pour le moins étrange.

Tu pars de l'hypothèse <math>\(n=5a+7b\)</math> avec <math>\(n\geq24\)</math> et <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> entier et tu veux montrer qu'il existe <math>\(a'\)</math> et <math>\(b'\)</math> entiers tel que <math>\(n+1=5a'+7b'\)</math>. J'ai pas l'impression que c'est ce que tu fais ici.

Par contre, je suis pas tout à fait convaincu de la méthode de sebsheep, en effet, elle va introduire des nombres négatifs et ça va poser problème.

Par exemple, avec cette méthode, on va trouver <math>\(24=2\times5+2\times7\)</math> puis <math>\(25 = 5\times5+0\times7\)</math>, jusque là tout va bien, mais ensuite, on va trouver <math>\(26=8\times5-2\times7\)</math> au lieu de <math>\(1\times5+3\times7\)</math> (puisqu'on veut avoir <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> positifs)

En fait, je pense qu'il faut bien partir de la relation de Bezout avec 5 et 7, mais il va falloir étudier les cas selon si <math>\(a=0\)</math>, <math>\(a=1\)</math> ou <math>\(a\geq2\)</math> et bien sur utiliser le fait que <math>\(n\geq24\)</math>.

j'ai pas encore étudier la relation de Bézout

Pas besoin du cas général ici, mais en gros, l'identité de Bézout dit que <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> sont premiers entre ssi on peut trouver deux entiers relatif <math>\(u\)</math> et <math>\(v\)</math> tels que <math>\(1=ua+vb\)</math>

Cependant, ici, tu dois pouvoir facilement trouver les <math>\(u\)</math> et <math>\(v\)</math> qui donnent <math>\(1=5u+7v\)</math>

mais dans ce cas rushia u et v sont des entiers naturels car en travaille sur N . nn? voici une nouvelle approche . on a <math>\(n\geq{24}\)</math> donc <math>\(5a+7b\geq{24}\)</math> donc <math>\(5(a-2)+7(b-2)\geq{0}\)</math> ;on peut supposé que <math>\(b\geq{a}\)</math> donc <math>\(12(b-2)\geq{0}\)</math> donc <math>\(b\geq{2}\)</math>. on a <math>\(n=5a+7b\)</math> donc <math>\(n+1=5a+7b+1\)</math> donc <math>\(n+1=5a+7b+15-14\)</math> donc <math>\(n+1=5(a+3)+7(b-2)\)</math> ,or <math>\(b\geq{2}\)</math> donc <math>\(b-2\in{\mathhb{N}\)</math> et <math>\(a+3\in{\mathhb{N}\)</math> donc <math>\(n+1=5a'+7b'\)</math> .c'est bon ? Merci.

c'est bien là le problème, tu ne peux pas avoir <math>\(5u+7v=1\)</math> et <math>\(u, v \geq 0\)</math> car dans notre cas <math>\(u > 0\)</math> et <math>\(v > 0\)</math> (les equation 5u = 1 ou 7v = 1 n'ont pas de solution dans <math>\(\mathbb{Z}\)</math> . <math>\(u \geq 1 \Rightarrow 5u \geq 5, 7v \geq 7 \Rightarrow 5u + 7v \geq 13\)</math>
donc on a 2 solutions :
1) modifier l'enoncé de l'exercice pour que a et b peuvent être negatifs
2) <math>\(n+1=5a+7b+1=5a+7b+15-14=5(a+3)+7(b-2)\)</math>, il faut montrer là que b-2 est positive

haha ; l'idée mais venu après avoir vu le post de Rushia,j’étais entrain de la rédiger...tu ma devancé . Merci ZeRa , on a pensé a la même méthode reste a savoir si c'est correcte .

Problème avec la solution 2) de ZeRa, on ne pourra pas prouver que <math>\(b-2\geq0\)</math> parce que c'est faut (cf un de mes précédents posts avec 26)

En réalité, il faudra distinguer 3 cas :

• <math>\(b\geq2\)</math> et on peut appliquer cette méthode;
• <math>\(b=1\)</math> et dans ce cas comme <math>\(n\geq24\)</math>, <math>\(a\geq\frac{24-7}{5}=3.4\)</math> donc <math>\(a\geq4\)</math> et <math>\(4\times5+1=21=3\times7\)</math>.
• <math>\(b=0\)</math> et dans ce cas comme <math>\(n\geq24\)</math>, <math>\(a\geq\frac{24}{5}=4.8\)</math> donc <math>\(a\geq5\)</math> et <math>\(4\times5+1=21=3\times7\)</math>.

Merci rushia , ZeRa et sebsheep . Problème résolu