Bonjour les Zéros !

Je fais appel à vous aujourd'hui pour un exercice dont j'ai compris le fonctionnement, mais je n'arrive pas à rédiger la solution. J'espère que vous pourrez m'aider, en tout cas je ne viens pas demander de l'aide sans avoir cherché au préalable.

Je suis en première S, et nous avons un devoir maison à rendre sur les équations du second degré type ax² + bx + c = 0. Simple avec le discriminant <math>\(\Delta\)</math>, mais moins avec un paramètre supplémentaire.

L'énoncé de l'exercice, vous allez comprendre :

Citation

Soit <math>\(m\)</math> un réel. On considère l'équation d'inconnue <math>\(x\)</math>

<math>\((m - 1)x^2 - (m + 2)x + (6 - m) = 0\)</math>

Discuter le nombre de solutions de cette équation selon la valeur du paramètre <math>\(m\)</math>

Pour que <math>\(a \neq 0, m \neq 1\)</math>. Je l'exclue.

J'ai donc calculé le discriminant <math>\(\Delta\)</math> avec le paramètre <math>\(m\)</math>. J'en suis arrivé à la conclusion que <math>\(\Delta = 5m^2 - 24m + 28\)</math>.

Je teste ensuite dans les cas où <math>\(m = 0\)</math>, <math>\(m > 0\)</math> et <math>\(m < 0\)</math>.

Pour <math>\(m = 0\)</math>, c'est simple, <math>\(\Delta = 28 > 0\)</math>, l'équation admet deux solutions.

Pour <math>\(m = 2\)</math>, <math>\(\Delta = 0\)</math>, l'équation admet une solution.

J'ai été jusqu'à m = 7, et jusqu'à m = -3. Le résultat est toujours positif, mais je n'arrive pas à formuler la réponse à l'excercice. J'ai pourtant toutes les données pour y répondre, je vous l'ai dit, je ne cherche pas d'aide sans m'être creusé la tête.

Si une âme charitable pourrait m'expliquer comment je peux m'en sortir, ça me ferait vraiment plaisir !

Merci d'avance !

Ton discriminant est une équation du second degré en <math>\(m\)</math>, tu peux donc en calculer les racines et en déduire le signe du discriminant en utilisant la règle suivante :

Citation : propriété

Un polynôme est du signe de <math>\(a\)</math> à l'extérieur des racines, et du signe de <math>\(-a\)</math> à l'intérieur des racines.

Si m=1, il s'agit d'une équation du premier ordre, qui admet quand même une solution.

Ensuite, on peut supposer <math>\(m \neq 1\)</math>. On calcule alors le discriminant et on trouve effectivement <math>\(\Delta = 5m^2-24m+28\)</math>.
Or on sait que le nombre de solutions d'une équation du second degré dépend du signe du discriminant. Je te conseille dans un premier temps de regarder pour quelles valeurs de m <math>\(\Delta\)</math> s'annule ; il s'agit à nouveau d'étudier une équation du second degré en m.
Fort heureusement, le discriminant <math>\(\Delta\)</math> se factorise bien ; on peut donc à l'aide d'un tableau de signe déterminer son signe selon les valeurs de m. Et selon ce signe, on pourra déterminer les solutions de la première équation du second degré.