Bonsoir,

Dans un exercice j'ai <math>\(v_n = \frac{u_n + 2}{u_n - 1}\)</math>, donc j'isole <math>\((u_n)\)</math> et j'obtiens <math>\(u_n = \frac{v_n + 2}{v_n - 1}\)</math>. Je sais que <math>\(v_{n+1} = \frac{v_n}{4}\)</math> avec <math>\(v_0 = \frac{5}{2}\)</math>, donc <math>\(v_n = \frac{5}{2 \times 4^n}\)</math>

Maintenant je dois exprimer <math>\(u_n\)</math> en fonction de <math>\(n\)</math>, je trouve alors : <math>\(u_n = \frac{5 + 4^{n+1}}{5 - (2 \times 4^n)}\)</math>, est-ce que je peux encore simplifier ?

Ensuite je dois en déduire la limite de la suite <math>\((u_n)\)</math>, mais j'obtiens une forme indéterminé du style <math>\(\frac{+ \infty }{- \infty}\)</math>, comment lever l'indétermination sachant que j'ai <math>\(u_n = f(n)\)</math>.

Si tu veux simplifier, transforme tes puissances de 4 en puissances de 2.

Comment ça ? <math>\(4^n \neq 2^1 \times 2^{n-1}\)</math>

Comme ceci <math>\(4^{n+1}=(2\times 2)^{n+1}=2^{n+1}\times 2^{n+1}=2^{2n+2}\)</math>

Merci, j'obtiens donc <math>\(u_n = \frac{5 + 2^{2n+2}}{5 - 2^{2n+1}}\)</math>, est-ce que je peux encore simplifier ? Si non comment je peux en déduire la limite ?

Oui tu peux encore simplifier, essaie de faire "apparaître" ton dénominateur, dans ton numérateur avec le bon cœfficient

Allez je suis sympa, je te montre le début du calcul :

<math>\(\frac{5+2^{2n+2}}{5-2^{2n+1}}=\frac{5+10-10+2^{2n+2}}{5-2^{2n+1}}=\frac{15-2(5-2^{2n+1})}{5-2^{2n+1}}\)</math>

Comment tu as su qu'il fallait prendre 10 ? Et puis ensuite je fais quoi ? Si je développe j'obtiens la même chose qu'avant...

Tu pourrais développer... Ou alors tu divises ta fonction en deux et tu simplifies d'un coté.
Sinon, il a su qu'il fallait mettre +10 -10 à force de pratiquer. Au bout d'un moment en math tu finis par avoir des idées étranges qui se révèlent être bonnes.
Bon, en l’occurrence il a juste essayé de trouver un moment pour pouvoir simplifier sa fraction.

Citation : floflo67

Tu pourrais développer... Ou alors tu divises ta fonction en deux et tu simplifies d'un coté.

Je ne saisi pas... Tu peux reformuler ? Merci.

<math>\(\frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)</math>

D'accords, mais je ne vois vraiment pas ou tout cela doit nous mener...

<math>\(u_n = \frac{13}{5 - 2^{2n+1}} - 2\)</math>

Si maintenant tu n'arrives pas à calculer la limite, je ne peux plus rien faire pour toi...

Oui évidemment ce détail là qui m'échappe... Mici.

Moins astucieux (donc plus facile à reproduire), mais qui marche à quasi chaque fois dans ce genre de situation : mettre en facteur le terme qui "tend le plus vite vers l'infini" :

<math>\(\frac{5 + 2^{2n+2}}{5-2^{2n+1}} = \frac{2^{2n+2}(\frac{5}{2^{2n+2}} + 1)}{2^{2n+1}(\frac{5}{2^{2n+1}} -1)}\)</math>

Les puissances de 2 se simplifient bien et du coup, tu n'as plus de forme indeterminée vu que <math>\(\lim \frac{5}{2^{2n+1}} = 0\)</math>...