Bonsoir à tous,

En général sin(x) est impaire sur R, Mais est elle sur [0,1] par exemple ?

Je pense qu'elle est ni paire ni impaire. j'ai besoin d'une confirmation

Merci.

Si une fonction est impaire sur R, elle est impaire sur toute partie de R.

Sauf que ... 

Pour dire que telle fonction est paire ou impaire sur un intervalle [a,b], ça n'a de sens que si cet intervalle est de la forme [-b,b].

Se poser la question de savoir si une fonction est impaire sur [0,1], ça n'a pas de sens.

En faite c'est en traitement de signal, ils nous ont donnés un signal: x(t)=Asin(t) avec t appartient à [0,T] et il faut décomposer en série de fourier je ne sais pas si c'est le cas.

Même chose pour un signal carré, et triangulaire. (toujours sur un intervalle [0,T])

Quand on dessine le graphe on ne peut appliquer ni f(x)=f(-x) ni f(x)=-f(-x) cela veut dire que c'est une fct ni paire ni impaire non ?

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Edité par SuprêmeMaths 10 novembre 2017 à 11:33:46

ton second post éclaire une question qui, avec le seul premier, était difficile à comprendre .

je suppose donc que tu cherches en fait la série de Fourier de la fonction périodique   sur \(\mathbb{R}\), de période 1 et  définie par \(\sin(x)\) sur l'intervalle \([0,1]\)  . Elle est donc effectivement ni paire ni impaire.  

Mais je ne vois pas le problème que cela pose, sinon un calcul un peu plus long puisque il y aura des harmoniques en \(\sin(nx)\) et en \( \cos(nx) \) dans le développement en série.

( remarque: un exemple de fonction  impaire  sur \(\mathbb{R}\) serait   défini  par \(\sin(x)\) sur \([-1,1]\) , de période 2. Dans ce cas tu pourrais effectivement te dispenser de calculer le développement en cosinus sachant a priori que les coefficients en sont nuls)

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Edité par Sennacherib 11 novembre 2017 à 10:20:15

Sennacherib a écrit:

ton second post éclaire une question qui, avec le seul premier, était difficile à comprendre .

je suppose donc que tu cherches en fait la série de Fourier de la fonction périodique   sur \(\mathbb{R}\), de période 1 et  définie par \(\sin(x)\) sur l'intervalle \([0,1]\)  . Elle est donc effectivement ni paire ni impaire.  

Mais je ne vois pas le problème que cela pose, sinon un calcul un peu plus long puisque il y aura des harmoniques en \(\sin(nx)\) et en \( \cos(nx) \) dans le développement en série.

( remarque: un exemple de fonction  impaire  sur \(\mathbb{R}\) serait   défini  par \(\sin(x)\) sur \([-1,1]\) , de période 2. Dans ce cas tu pourrais effectivement te dispenser de calculer le développement en cosinus sachant a priori que les coefficients en sont nuls)

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Edité par Sennacherib il y a environ 1 heure

J'ai calculer les coefficients de Fourier, A0, An et Bn ils sont égales à 0 est-ce normal ?(ou bien c'est une fct atypique ?) j'ai pris T=2pi avec une intégrale allant de 0 à T.

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Edité par SuprêmeMaths 11 novembre 2017 à 12:37:51

Si tous les coefficients sont nuls, c'est que la fonction de départ était à la fois paire et impaire, donc nulle. Du coup, oui, il y a un problème (très bon réflexe de ne pas accepter un résultat qui semble bizarre !).

(Pour la première fonction, Asin(t), il me semble que sa série de Fourier est elle même. (À confirmer))

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Edité par robun 11 novembre 2017 à 16:47:29

SuprémeMaths ce que tu dis n'est quand même pas très clair.

Dans le premier post , tu parles d'un intervalle définition sur [0,1] , donc période T= 1 et il est clair que la fonction ainsi définie n'est ni paire ni impaire et le calcul donne des coefficients de Fourier  non nuls aussi bien pour les cosinus que les sinus.

Dans ton second post tu parles de l'intervalle \([0, 2\pi] \)   . La fonction \(\sin(x)\) étant de période \(2\pi\) , tu redéfinis ainsi la fonction \(\sin(x)\) sur \(\mathbb{R}\) et son développement de Fourier c'est évidemment ...\(\sin(x)\) !  ce qui n'a guère d'intérêt pour illustrer un calcul de série de Fourier !   

Ou alors est ce une mauvaise interprétation du calcul de la série de Fourier ?  si ton intervalle est celui du premier post , il faut intégrer sur [0,1] pour le calcul des coefficients.

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Edité par Sennacherib 11 novembre 2017 à 17:06:08

Sennacherib a écrit:

SuprémeMaths ce que tu dis n'est quand même pas très clair.

Dans le premier post , tu parles d'un intervalle définition sur [0,1] , donc période T= 1 et il est clair que la fonction ainsi définie n'est ni paire ni impaire et le calcul donne des coefficients de Fourier  non nuls aussi bien pour les cosinus que les sinus.

Dans ton second post tu parles de l'intervalle \([0, 2\pi] \)   . La fonction \(\sin(x)\) étant de période \(2\pi\) , tu redéfinis ainsi la fonction \(\sin(x)\) sur \(\mathbb{R}\) et son développement de Fourier c'est évidemment ...\(\sin(x)\) !  ce qui n'a guère d'intérêt pour illustrer un calcul de série de Fourier !   

Ou alors est ce une mauvaise interprétation du calcul de la série de Fourier ?  si ton intervalle est celui du premier post , il faut intégrer sur [0,1] pour le calcul des coefficients.

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Edité par Sennacherib 11 novembre 2017 à 17:06:08

En faite j'ai donné l'intervalle [0,1](comme exemple) pour savoir si c'est ni paire ni impaire(je suis juste passé de l'autre coté pour confirmer) sinon le vrai intervalle c'est [0,2pi].

robun a écrit:

Si tous les coefficients sont nuls, c'est que la fonction de départ était à la fois paire et impaire, donc nulle. Du coup, oui, il y a un problème (très bon réflexe de ne pas accepter un résultat qui semble bizarre !).

(Pour la première fonction, Asin(t), il me semble que sa série de Fourier est elle même. (À confirmer))

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Edité par robun 11 novembre 2017 à 16:47:29

 

J'ai calculer plusieurs fois les coefficients mais rien n'empêche que je les trouvent toujours nulls.(y a quelque chose qui m'échappe peut être.
c'est peut être une fct atypique comme je l'ai dit.

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Edité par SuprêmeMaths 16 novembre 2017 à 16:11:13

SuprêmeMaths a écrit:

En faite j'ai donné l'intervalle [0,1](comme exemple) pour savoir si c'est ni p aire ni impaire(je suis juste passé de l'autre coté pour confirmer) sinon le vrai intervalle c'est [0,2pi].

robun a écrit:

(Pour la première fonction, Asin(t), il me semble que sa série de Fourier est elle même. (À confirmer))

J'ai calculer plusieurs fois les coefficients mais rien n'empêche que je les trouvent toujours nulls.(y a quelque chose qui m'échappe peut être.
c'est peut être une fct atypique comme je l'ai dit.

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Edité par SuprêmeMaths il y a environ 1 heure

je vais me répéter mais si ta fonction est définie par \(\sin(x)\) sur la période \([0, 2\pi]\), sa série de Fourier se réduit à ... \(\sin(x)\) . C'est ce que dit aussi Robun.
C'est assez évident mais on peut confirmer, si besoin,  par le calcul où effectivement tous les coeeficients sont nuls ...sauf \(b_1\)

En effet \(b_1=\dfrac{2}{T}\int_0^T \sin(x) \sin(\dfrac{2\pi x}{T})dx\)  avec donc ici \(T=2\pi\). D'où:

\(b_1=\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \sin^2(x)  dx =\dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \dfrac{1-2\sin(2x)}{2})  dx\).

Sur \([0,2\pi]\), l'intégrale du sinus est évidemment nulle,et \(b_1= \dfrac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} \dfrac{dx }{2}     =1\)....sans surprise !

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Edité par Sennacherib 16 novembre 2017 à 17:38:01

Je pense à un truc... Quand tu écris Asin(t), s'agit-il de A·sin(t) (comme je l'ai cru) ou bien de arcsin(t) ?

robun a écrit:

Je pense à un truc... Quand tu écris Asin(t), s'agit-il de A·sin(t) (comme je l'ai cru) ou bien de arcsin(t) ?

Pourquoi pas , mais le titre du post c'est quand même \(\sin(t)\). Et avec \(\arcsin(t)\), les coefficients d Fourier sont difficilement calculables et je ne vois pas comment il aurait pu les trouver tous nuls!

Une autre possibilité c'est que ce n'est pas \(\sin(t)\), sur tout \([0,2\pi]\) mais par exemple \(\sin(t)\) sur \([0, \pi]\) et 0 sur \([\pi,2\pi]\). Cela serait plus logique comme exo sur les séries de Fourier.

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Edité par Sennacherib 16 novembre 2017 à 23:49:17

Ah oui, le titre indique que c'est le sinus. Bon...