Bonsoir à tous.

Avant d'aller me coucher, je me suis brièvement posé quelques questions à propos des équations. Les voici :

Existe-t-il une méthode générale permettant les solutions d'une équation de la forme <math>\(ax^2 + \frac{b}{x} + c = 0\)</math> avec <math>\(a, b, c \in \mathbb{N}\)</math> ?
Et d'une façon plus générale un polynôme dont l'un des membres est inverse (peut-être mal dit ? Mais l'idée est là).


Même question pour une équation de la forme <math>\(ax^n + bx^{n-1} + c = 0\)</math>, avec <math>\(a, b, c, n \in \mathbb{N}\)</math> et <math>\(n\)</math> impair.
L'imparité de <math>\(n\)</math> me pose grand problème pour factoriser.

Merci d'avance pour vos futures réponses.

Pour ta première question en multipliant tout par x, tu as une équation du troisième degré, ce qui se résout : http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9th [...] _m.C3.A9thode

Pour la seconde, c'est possible tant que n n'est pas supérieur à 3 car on ne sait pas résoudre une équation de degré supérieur à 4.

Ca nous laisse deux possibilités : <math>\(ax^3-bx^2+c=0\)</math> et <math>\(ax-b+c=0\)</math> (degré 1 simple à résoudre)
Pour la première possibilité, dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>, il y a diverses méthodes mais souvent dans les exercices la ou les racines est ou sont évidente(s).
Dans <math>\(\mathbb{C}\)</math> on peut essayer avec la méthode de Bombelli.

Citation : Woop

Pour la seconde, c'est possible tant que n n'est pas supérieur à 3 car on ne sait pas résoudre une équation de degré supérieur à 4.

Non, non et non ! Perso, je sais résoudre <math>\(x^n - 1 = 0\)</math> dans <math>\(\mathbb R\)</math> ou <math>\(\mathbb C\)</math>...

En revanche, Gallois (et Abel me semble-t-il) a montré que :

Citation : Théorème

Le cas général d'une équation polynomiale de degré 5 ou plus n'est pas résolvable par radicaux.

Il se pourrait très bien que les équations auxquelles il s'intéresse, de part leur forme particulière, admettent une résolution simple (même par radical).

Exemple : les équations de la forme <math>\(ax^{2n}+bx^n+c = 0\)</math> se résolve très simplement sur <math>\(\mathbb C\)</math>, j'imagine que tu vois comment.

Citation : Pierre89

Non, non et non ! Perso, je sais résoudre <math>\(x^n - 1 = 0\)</math> dans <math>\(\mathbb R\)</math> ou <math>\(\mathbb C\)</math>...

En effet, tu as raison... J'ai oublié les cas où a ou b=0, où la résolution est on ne peut plus simple.

Citation : Pierre89

Exemple : les équations de la forme <math>\(ax^{2n}+bx^n+c = 0\)</math> se résolve très simplement sur <math>\(\mathbb C\)</math>, j'imagine que tu vois comment.

Oui par changement de variable, mais ici il semble s'intéresser au cas où la première puissance de x est impaire et la seconde est paire qui ne laisse pas la possibilité à un changement de variable, du moins pour résoudre l'équation.

Certes, mais cela montre qu'on peut trouver des méthodes pour résoudre des équations de degré supérieur à 3 quand elles ont des formes particulières.

Ici, rien (pour le moment) ne prouve qu'il n'existe pas de méthode pour résoudre les équations de la forme <math>\(ax^{n}+bx^{n-1}+c=0\)</math> (même si rien ne prouve dans ce qui a été posté ici qu'une tel méthode existe)

Génial ! Merci beaucoup pour les deux méthodes, c'est tout ce qu'il me fallait !

Sujet résolu.