Bonjour,

Il y a une chose que je ne comprends pas vraiment concernant les sommes. Prenons les deux exemple suivants :

- =

-

Dans le premier cas, on obtient un résultat et dans le second non. En effet il s'agit là de représenter un peigne de dirac par une somme. Mais quel différence fondamental il y a entre les deux ? pourquoi le peigne de dirac n'a pas de résultats ? pourquoi une somme et legitime pour représenter un peigne de dirac ?

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Edité par adrien050356 7 octobre 2018 à 17:35:45

On ne parle pas de la même chose.

1-Dans le premier cas c'est une somme de nombre. Série convergente dont on sait calculer explicitement la valeur dans le cas présent.

Mais beaucoup de séries sont convergentes sans que on sache calculer explicitement la somme. 

2- la seconde somme n'est ni une somme de nombre ni une somme de fonction mais une somme de distributions .L'écriture \(\delta(t)\) est abusive et, du point de vue maths, c'est du bidouillage pratique de physicien!

Si on veut revenir  aux fondamentaux de la distribution de Dirac, il faut faire un bref   rappel de ce qu'est une distribution.
On considère l'espace vectoriel traditionnellement noté \(\mathcal{D}\) des fonctions \(C^{\infty}\) nulles en dehors d'un intervalle fermé de \(\mathbb{R}\) à valeurs dans \(\mathbb{C}\). Un élément de \(\mathcal{D}\) est appelé fonction test et souvent noté \(\varphi\).

Une distribution est une fonctionnelle linéaire de \(\mathcal{D}\) dans \(\mathbb{C}\).

 Dans ce contexte, la distribution de Dirac \(\delta_a\) est la fonctionnelle linéaire définie par :

\(\forall \varphi \in \mathcal{D}, <\delta_a,\varphi>=\varphi(a)\).

l'ensemble des distributions peut être doté d'une structure d'espace vectoriel . 

On définit \(T+U\) par \(\forall \varphi \in \mathcal{D}, <T+U,\varphi>=<T,\varphi>+<U,\varphi>\).

Et \(\lambda T \) par \(\forall \varphi \in \mathcal{D}, <\lambda T ,\varphi>=\lambda <T,\varphi> \).

Sans plus entrée dans les détails on devine alors que la distribution peigne de Dirac sera définie par \(\sum_{k=0}^{+\infty} \delta_k\) telle que 

\(\forall \varphi \in \mathcal{D}, <\sum_{k=0}^{+\infty} \delta_k, \varphi>=\sum_{k=0}^{+\infty} \varphi(k)\). Cette somme est une somme de nombres complexes toujours convergentes puisque seul un nombre fini de terme est non nul compte tenu de la définition des fonctions test.

  Telle est la démarche mathématiques rapidement résumée qui légitime le peigne de Dirac au seul sens des distributions.

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 19:24:13

Si je comprends bien, le peigne de dirac a sa légitimité dans une somme car il est utilisé "comme une fonction" afin d'obtenir des résultats qui, eux, sont sommable au sens propre du terme ?

J'ai deux autres question au passage :

- http://perso.univ-lemans.fr/~nerrien/Phy308aA_5_C1.pdf

sur ce lien page 10, equation 5.32, on trouve le lien entre la corrélation est la convolution. Mais je ne suis pas sûr de saisir. Comment je dois interpréter ceci :

s(tau)*r(-tau)

la correlation a pour "effet" de faire "glisser" un signal devant un autre. la convolution fait la même chose avec un des deux signal retourné. ici j'imagine que le r(-tau) a pour effet de "redresser" le signal r, mais je ne comprend pas comment ?

- http://www.gipsa-lab.grenoble-inp.fr/~christian.jutten/mescours/Theorie_du_signal.pdf

Sur ce lien, page 70 équation 5.134, on à l'intercorrelation de deux signaux périodique calculé à partir des coefficiant de Fourier des deux signaux. Au paragraphe suivant, "Fonction d'autocorrelation", il est dit que la fonction d'autocorrelation est une fonction périodique de période T. Comment ça se voit ? J'imagine que la réponse est dans l'exponentiel complexe (qui est egal à cos + isin), mais l'aspect complexe me perturbe. Et de manière général, l'exponentiel complexe me perturbe.

Je m'excuse, ca fait plusieurs question mélangées. Je regarde des cours de théorie du signal, et il y a plusieurs points que je ne trouve pas claire.

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Edité par adrien050356 8 octobre 2018 à 22:09:11