Bonjour, j'ai un exercice où on me donne deux applications.
On me demande d'abord de prouver que ce sont des normes (jusqu'ici pas de problème), puis on me demande de déterminer leur sphère unité et c'est là que je sèche.

Voici les normes en question:
<math>\(N_1 ((x,y))=sup_{t\in\mathbb{R}} \frac{|x+ty|}{1+t^2}\)</math>
<math>\(N_2 ((x,y))=\int_0^1 |x+ty|dt\)</math>

Si vous aviez deux/trois conseils à me donner se serait sympa car j'ai beau chercher, je ne trouve rien de bien concluant.

en fait cela revient à résoudre des équations, N (x ,y) = 1
fixe x et regarde pour quel valeur de y tu trouves 1.

Bonsoir,

quelques pistes pour la boule de N2 que j'ai rencontrée dans une vie antérieure
En fait, il faut soigneusement identifier, en tenant compte des symétries, les expressions explicites que prennent les normes dans les différents quadrants en fonctions des signes, avant de résoudre <math>\(N_2=1\)</math>. On doit pouvoir se ramener à un demi-espace.

Lorsque x et y sont de même signe, c'est assez simple .
Lorsque les signes sont différents, si par exemple x est négatif il faut alors distinguer les cas où <math>\(\vert x \vert / y\)</math> est inférieur ou supérieur à 1 et lorsque c'est inférieur on se rend compte qu'il est nécessaire de découper [0,1} avec <math>\(t_1=\vert x \vert / y\)</math>.

Donc on finit par trouver l'expression explicite dans chaque sitution avant d'écrire <math>\(N_2=1\)</math> por trouver la boule
A priori la boule unité de <math>\(N_2\)</math> est assez "tordue , 2 segments et 2 arcs d'ellipses.

Pour <math>\(N_1\)</math>, j'ai rencontré un cas un peu différent
<math>\(sup \vert x+ty \vert\)</math> pour t sur [0,1] cas pour lequel ce qui précéde s'applique plus facilement et on trouve rapidement que la boule est un parallèlogramme.
Mais la norme <math>\(N_1\)</math> proposée ici me suggère une piste possible différente.
<math>\(\frac{1}{1+t^2}\)</math> et <math>\(\frac{t}{1+t^2}\)</math> peuvent être transformer en posant <math>\(t=tan(u)\)</math> devenant <math>\(cos^2(u)\)</math> et <math>\(sin(u)cos(u)\)</math> avec <math>\(u \in [0 , 2\pi ]\)</math> .On peut par ailleurs écrire <math>\(x = \sqrt{x^2 + y^2}cos(v)\)</math>
et <math>\(y = \sqrt{x^2 + y^2}sin(v)\)</math>
Alors, <math>\(N_1(x,y)=sup(\sqrt{x^2 + y^2}cos(u)cos(u-v)),\)</math> avec <math>\(u \in [0 , 2\pi ]\)</math> .

Il me semble qu'il devient alors assez simple à partir de cette expression de calculer N1 et d'en deduire la boule avec N1=1