Voila, je définie trois suites comme suit :

• (<math>\(u_n\)</math>) pour <math>\(n \geq 1\)</math> par <math>\(\left\lbrace\begin{array}l u_1=2 \\ u_2=3 \\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \end{array}\)</math>. (c'est la suite de fibonacci.)
• (<math>\(v_n\)</math>) pour <math>\(n \geq 1\)</math> par <math>\(v_n = 2^n\)</math>.
• (<math>\(v_n\)</math>) pour <math>\(n \geq 1\)</math> par <math>\(w_n = \frac{u_n}{v_n}\)</math>.

Voila, j'ai quelques problèmes, je n'ai pas l'expression de (<math>\(w_n\)</math>) explicite. Enfin si, j'ai essayé en prenant l'expression fonctionnelle de la suite de Fibonacci : <math>\(F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^2-\phi'^2)\)</math> avec forcement <math>\(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\)</math> et <math>\(\phi' = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)</math> (pas l'habitude de voir phi écrit comme ça...). On obtient <math>\(w_n = \frac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^{2n}\times \sqrt{5}}\)</math>. Dites si je me trompe.

Mais si c'est bon, la difficulté n'est pas la puisque dans l'absolu je cherche la limite de (<math>\(w_n\)</math>)... Et ça... J'ai un peu de mal à le faire. Graphiquement ça semble bien être <math>\(\lim_{n\to +\infty} w_x=+\infty\)</math> mais j'aimerais aller un peu plus loin. Il semblerait que cette suite admet une asymptote oblique... J'aimerais savoir laquelle.

Et la j'ai vraiment du mal. Un peu d'aide s'il vous plait.

Salut,
En général les premiers termes de la suites de Fibonacci sont <math>\(F_0=0\)</math> et <math>\(F_1=1\)</math>.
Donc en fait <math>\(u_n=F_{n+2}\)</math>
Donc <math>\(w_n=\frac{(1+\sqrt{5})^{n+2}-(1-\sqrt{5})^{n+2}}{4\sqrt{5}*4^n}\)</math>
<math>\(w_n=\frac{(1+\sqrt{5})^2(\frac{1+\sqrt{5}}{4})^{n}}{4\sqrt{5}}-\frac{(1-\sqrt{5})^2(\frac{1-\sqrt{5}}{4})^{n}}{4\sqrt{5}}\)</math>
<math>\(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\)</math> et <math>\(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\)</math> sont strictement plus petit que 1 en valeur absolue donc <math>\(w_n\)</math> tend vers 0.

Ouep, en effet, merci rom1504.

Citation : Ennoriel

Graphiquement ça semble bien être <math>\(\lim_{n \to +\infty} w_n = +\infty\)</math>.

En fait j'ai fait cette erreur car je n'ai pas tracé (<math>\(w_n\)</math>) mais (<math>\(u_n\)</math>) en fonction de (<math>\(v_n\)</math>). Et les conjectures que j'ai fait se rapporte à ce graphe...

Mais c'est bien la limite de (<math>\(w_n\)</math>) que je cherchais et ça m'arrange que ça tende vers 0.