Bonjour, je suis en 1ère S et j'étudie les suites de nombres. J'ai un problème dans mes opérations qui est la simplification de mon résultat final.

Voici le problème :

Etudier le sens de variation de la suite (Un). Précisez la méthode utilisé.

Avec n>=1 et U(n)= (n^3)-(6/n)


Voici ma réponse :
On calcul Un+1
Puis on compare (Un+1)/(Un) à 1

Un+1 = (n+1)^3 - (6/(n+1)

Le résultat final donne :

Un+1/Un = (((n+1)^4-6)/n+1)*((n)/n^4-6)


Merci pour votre attention sur ce problème.
Ps: Attention aux PARENTHÈSE.

Le plus simple ici est de calculer la différence u(n+1)-u(n). Tu vas retrouver une identité remarquable de degré 3 et ensuite la différence de deux fractions et tu vas vite t'apercevoir que le tout est positif

Si tu veux plus d'explications, n'hésite pas !

Edit : Généralement, on utilise la méthode u(n+1)/u(n) lorsqu'on a des produits et des quotients, afin de bien simplifier les choses. D'ailleurs, pour cette méthode, il ne faut pas oublier de regarder si tous les termes de ta suite sont strictement positifs

Merci pour tes conseilles très utile, concernant le calcul de Un+1-Un, faut-il développer Un+1?

Tu as <math>\(u(n+1)=(n+1)^3-\frac{6}{n+1}\)</math>.

Je te conseille de regrouper le <math>\((n+1)^3\)</math> avec le <math>\(n^3\)</math>, ce qui te donne une identité remarquable à développer, pour la simplifier ; de l'autre côté, il te reste <math>\(\frac{6}{n+1}\)</math> et <math>\(\frac{6}{n}\)</math>, que tu mets sous le même dénominateur et là aussi, ça va se simplifier.
A la fin, tu vas obtenir une somme de plusieurs termes dépendant de n, tous positifs, d'où <math>\(u(n+1)-u(n)>0\)</math> !

J'arrive à (3n^4+6n^3+5n^2+n)/(n(n+1))
Je n'arrive pas faire comme conseiller ( regrouper n+1)

Alors, ça donne ceci :
<math>\(u(n+1)-u(n)=(n+1)^3-\frac{6}{n+1}-n^3+\frac{6}{n}=(n+1)^3-n^3+\frac{6}{n}-\frac{6}{n+1}\)</math> en regroupant les termes.
D'où :

• <math>\((n+1)^3-n^3=(n+1-n)((n+1)^2+(n+1)n+n^2)=(n+1)^2+(n+1)n+n^2\)</math>
• <math>\(\frac{6}{n}-\frac{6}{n+1}=\frac{6(n+1)}{n(n+1)}-\frac{6n}{n(n+1)}=\frac{6n+6-6n}{n(n+1)}=\frac{6}{n(n+1)}\)</math>

Finalement, en réintégrant tout ça dans l'expression de <math>\(u(n+1)-u(n)\)</math>, tu obtiens quelque chose de positif quel que soit n.

Effectivement j'avais pas fait ça comme cela, je te remercie ! Je prend note de tes commentaire

Encore merci