Bonjour j'ai besoin d'aide sur un exercice sur les suites (Je m'excuse d'avance j'ai pas compris comment utilisé mathjax)

L'exercice est le suivant : 

Soit p un réel tel que 0<p<1. On considère la suite (Un) = n(1-p)^n pour  tout entier nn tel que n>= 1

1 °/ Peut-on obtenir sa limite par les théorèmes d'opérations sur les limites? 

Non car (1-p)^n a une limite qui tend vers 0 donc on peut pas déterminé la limite de Un (jusqu'ici tout vas bien)

2 °/ Calculer Un+1/Un puis déterminer sa limite

Arriver ici je n'y arrrive déjà plus.. je fais : 

- (n+1)(1-p)^(n+1) / n(1-p)^n mais ça ne mène nulle part (Si on peut m'expliquer comment marche MathJax que je puisses correctement détaillé mes calculs.. Merci beaucoup

3°/a)Justifier que 1-p<1-p/2

 Ici je pourrais voir une fois que le reste est finis

b) En déduire qu'il existe un entier n0 tel que pour tout n >= n0. Un+1/Un <1-p/2

c) En déduire que pour n>= n0 0<= Un<Un0(1-p/2)^(n-n0)

4°/ Déterminer alors la limite de la suite (Un)

Si quelqu'un pourrait me guider sur cet exercice je lui serais reconnaissant merci beaucoup

Bien à vous.

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Edité par Zacharry 30 septembre 2018 à 15:19:07

Question 1 : (1-p)^n n'a pas de limite 

Ah ??? bizarre.

Bonjour !

1) Ah si, \( (1-p)^n \) a une limite (on la voit en première).

2) Tu as obtenu : \( \dfrac{(n+1)(1-p)^{n+1}}{n(1-p)^n} \). Eh bien il faut simplifier !!! Rappel : \( \dfrac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \) (on voit ça en troisième je crois ).

3-a) Je crois que c'est plutôt \( 1-p \leq 1-p/2 \) qu'il faut justifier. Tu peux le faire dès maintenant, c'est facile.

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Edité par robun 30 septembre 2018 à 5:21:34

1) Oui pardon la limite est 0 (wow) et du coup ça empeche d'avoir la limite de Un car +infini facteur de 0 c'est pas possible non ? 

2) Ah oui merci ! 

Du coup on a 

n(1-p)^2 c'est bien ça ? 

3) J'ai bien 1-p < 1-p/2 mais je vois pas comment m'y prendre (je dois être idiot) 

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Edité par Zacharry 30 septembre 2018 à 11:26:37

Infini multiplié par 0, c'est possible.  Mais la difficulté quand on croise infini multiplié par 0, c'est qu'on ne sait pas d'avance si ça fait 0, ou infini, ou un truc intermédiaire, ou même si ça ne donne rien.

Par exemple, en général, un truc qui va très vite vers l'infini, multiplié par un truc qui va lentement vers 0, ça va aller vers l'infini. Et un truc qui va très vite vers 0, multiplié par un truc qui va lentement vers l'infini, ça va aller vers 0.

Zacharry a écrit:

2) Du coup on a 

n(1-p)^2 c'est bien ça ? 

3) J'ai bien 1-p < 1-p/2 mais je vois pas comment m'y prendre (je dois être idiot) 

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Edité par Zacharry il y a moins de 30s

2 -  euh, non! c'est \((1+\frac{1}{n})(1-p)\).  La façon dont tu as pu obtenir ce que tu indiques est ...mystérieuse.   (avec ce que tu trouves, tu vois bien que ton expression n'a pas de limite quand \(n \rightarrow \infty\), contrairement à ce que on te demande de montrer!)

Comment utilises tu le rappel de Robun sur les puissances et comment  passes tu de \(\frac{n+1}{n}\)  à ...\(n\) ?! 

3- \(1-p=1-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}, p>0\)....donc?

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Edité par Sennacherib 30 septembre 2018 à 11:49:27

Sennacherib a écrit:

Zacharry a écrit:

2) Du coup on a 

n(1-p)^2 c'est bien ça ? 

3) J'ai bien 1-p < 1-p/2 mais je vois pas comment m'y prendre (je dois être idiot) 

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Edité par Zacharry il y a moins de 30s

2 -  euh, non! c'est \((1+\frac{1}{n})(1-p)\).  La façon dont tu as pu obtenir ce que tu indiques est ...mystérieuse.  

Comment utilises tu le rappel de Robun sur les puissances et comme  passes tu de \(\frac{n+1}{n}\)  à ...\(n\) ?! 

3- \(1-p=1-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}, p>0\)....donc?

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Edité par Sennacherib il y a moins de 30s

J'ai développer la moitié le 1 du n+1 en oubliant les puissances prioritaire je suppose

du coup si on obtient ton resultat

lim (1-1/n) quand n tend vers l'infinie c'est 1

du coup c'est la limite de (1-p) mais c'est quoi au juste sa limite ? 

3) 1-p < 1-p+p/2 

Comme p>0 c'est prouver merci !

EDIT : Je suis définitivement pas doué avec mathjax

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Edité par Zacharry 30 septembre 2018 à 11:54:22

Zacharry a écrit:

3) J'ai bien 1-p < 1-p/2 mais je vois pas comment m'y prendre (je dois être idiot) 

Ah, tu as corrigé la faute de frappe. Pour ce genre de question, une technique qui marche souvent est de faire comme si c'était une inéquation d'inconnue p. (C'est une technique parmi d'autres et pas ma préférée, mais je trouve qu'elle a l'avantage de souvent mener à une solution).

Ici part de : \( 1-p < 1-p/2 \), inéquation d'ordre 1. La technique consiste à mettre l'inconnue d'un côté et tout le reste de l'autre.

C'est donc équivalent à : \( 1-1 < p - p/2 \) (ou bien on dit qu'on simplifie les 1 de chaque côté).

Qui est équivalent à : \( 0 < p/2 \)

Question : est-ce vrai ? est-ce faux ? ou les deux ? Eh bien on sait que p est positif, du coup p/2 aussi. Il suffit maintenant de rédiger en remontant (à l'envers) :

On sait que \( p > 0 \) donc \( p/2 > 0 \), ou encore \( p - p/2 > 0 \) donc \( -p/2 > -p \). Et on ajoute les 1 : \( 1-p/2 > 1-p \).

(La question a déjà été résolue dans les messages ci-dessus, mais je voulais surtout montrer la méthode, parce qu'elle peut être utile ailleurs : au brouillon partir du résultat, et ensuite rédiger en se mettant dans le bons sens...)

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Edité par robun 30 septembre 2018 à 14:41:46

robun a écrit:

Zacharry a écrit:

3) J'ai bien 1-p < 1-p/2 mais je vois pas comment m'y prendre (je dois être idiot) 

Ah, tu as corrigé la faute de frappe. Pour ce genre de question, une technique qui marche souvent est de faire comme si c'était une inéquation d'inconnue p. (C'est une technique parmi d'autres et pas ma préférée, mais je trouve qu'elle a l'avantage de souvent mener à une solution).

Ici part de : \( 1-p < 1-p/2 \), inéquation d'ordre 1. La technique consiste à mettre l'inconnue d'un côté et tout le reste de l'autre.

C'est donc équivalent à : \( 1-1 < p - p/2 \) (ou bien on dit qu'on simplifie les 1 de chaque côté).

Qui est équivalent à : \( 0 < p/2 \)

Question : est-ce vrai ? est-ce faux ? ou les deux ? Eh bien on sait que p est positif, du coup p/2 aussi. Il suffit maintenant de rédiger en remontant (à l'envers) :

On sait que \( p > 0 \) donc \( p/2 > 0 \), ou encore \( p - p/2 > 0 \) donc \( -p/2 > -p \). Et on ajoute les 1 : \( 1-p/2 > 1-p \).

(La question a déjà été résolue dans les messages ci-dessus, mais je voulais surtout montrer la méthode, parce qu'elle peut être utile ailleurs : au brouillon partir du résultat, et ensuite rédiger en se mettant dans le bons sens...)

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Edité par robun il y a 35 minutes

Merci pour l'astuce je prends note !

Pour ce qui est des 2 dernières questions quelqu'un na des idées ?

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Edité par Zacharry 30 septembre 2018 à 17:56:14

Zacharry a écrit:

Pour ce qui est des 2 dernières questions quelqu'un na des idées ?

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Edité par Zacharry il y a 10 minutes

oui !  

... mais on aimerait déjà bien voir les tiennes même incomplètes ! 

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Edité par Sennacherib 30 septembre 2018 à 18:10:29

Sennacherib a écrit:

Zacharry a écrit:

Pour ce qui est des 2 dernières questions quelqu'un na des idées ?

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Edité par Zacharry il y a 10 minutes

oui !  

... mais on aimerait déjà bien voir les tiennes même incomplètes ! 

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Edité par Sennacherib il y a environ 1 heure

avant la 3-c, il y a la question 3-b dont je ne pense pas que tu es donné la réponse . La 3-c n'en est qu'une conséquence facile à montrer avec 3-b (tu as peut-être pensé que \(1-p\leq 1-\frac{p}{2}\) suffit à montrer 3-b, ce n'est pas tout à fait le cas .... )

En 4, la limite demandée  est alors une conséquence immédiate de 3. 

indication pour la 3-b:

sachant d’après 2 que \(\frac{U_{n+1 }}{U_n}= (1+\frac{1}{n})(1-p)\), il faut montrer que . \(\frac{U_{n+1 }}{U_n}\leq   1-\frac{p}{2} \)

Mais malgré \(1-p\leq 1-\frac{p}{2}\) , ce n'est pas tout à fait immédiat car \(1+\frac{1}{n}, \forall n\) est supérieur à 1. De façon immédiate on peut simplement dire que \(\frac{U_{n+1 }}{U_n}\leq (1+\frac{1}{n})(1-\frac{p}{2})\).
Petite astuce à trouver et on peut même calculer explicitement le \(n_0\) en fonction de \(p\)

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Edité par Sennacherib 1 octobre 2018 à 9:40:25

D'accord merci beaucoup de toute votre aide je pense avec compris tout ce qu'il y avait à comprendre !

Je viens de remarquer que j'avais deux comptes oups

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Edité par RedTenZ 2 octobre 2018 à 6:36:46

robun a écrit:

Pour le 3-b) je l'ai fait sans astuce, juste en exploitant la définition de « \( \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \) tend vers 1-p ».

 Il est effectivement assez évident que que si le rapport tend vers \(1-p\) , il existera toujours un \(n_0\) tel que le rapport se trouve dans l'intervalle \([1-p, 1-\frac{p}{2}]\) et il n'est pas nécessaire d'expliciter \(n_0\) pour prouver ce que l'on cherche.

Quand je parle "d'astuce" ( modeste!) , c'est pour calculer explicitement le \(n_0\) en question, même si ce n'est pas explicitement demandé. 

Sennacherib a écrit:

Quand je parle "d'astuce" ( modeste!) , c'est pour calculer explicitement le \(n_0\) en question, même si ce n'est pas explicitement demandé. 

Ah OK.