Salut à tous chères zeros!

Voilà cela fait plusieurs jours que je travail sur les suites, j'ai lu les cours, cherché des cours complémentaires sur internet et je n'arrive toujours pas à effectuer les exercices de base concernant la convergence des suites, j'ai pour exemple cet exercice que je n'arrive pas à resoudre :

Pour chacune des suites numériques suivantes, étudier leur monotonie, dire si elles sont majorées, minorées, bornées, divergentes, convergentes (on précisera le rang à partir duquel elles sont bien définies).

Pour étudier la monotonie je sais qu'il faut étudier le signe de Un+1 - Un. Ce qui m'apprend si la suite est croissante, décroissante, constante.
Mais ensuite je n'ai aucune idée comment faire, je n'ai pas le droit, pour résoudre ces exercices d'utiliser la calculatrice (car avec la calculatrice il suffit de regarder à peut prêt un minorant et le démontrer).

Voici les suites données à résoudre selon l'énoncé :

Un = (6n+1)/(3n+1)
Un = racine de (n+1) - racine de n
Un = (3n-1)/(2n+12)
Un = 1 - (1/2)^n

je vous epargnerai les calculs rocambolesque que j'ai réalisé au brouillon, ça ne donne rien.

Si quelqu'un aurait le courage et la très grande gentillesse de m'expliquer comment proceder pour arriver aux résultats voulus par l'énoncé ça serait très gentil de sa part.

Dans l'attente et en vous remerciant d'avance,

Budrys

Essaie de calculer <math>\(\lim_{n\rightarrow\infty} u_n\)</math> pour chacune d'entre elles.

Prenons la première:

<math>\(u_n=\frac{6n+1}{3n+1}\)</math>

Donc, on écris <math>\(u_{n+1}\)</math>

<math>\(u_{n+1}=\frac{6(n+1)+1}{3(n+1)+1}=\frac{6n+7}{3n+4}\)</math>

Monotonie, deux choix s'offrent à toi en fait, tu peux comparer le rapport <math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)</math> avec 1 (s'il lui est inférieur alors la suite est décroissante, s'il lui est égal la suite est constante, s'il lui est supérieur la suite croit) ou encore le signe de <math>\(u{n+1}-u_n\)</math> (S'il est négatif, alors la suite est décroissante, si c'est égal à 0 la suite est constante, s'il est positif la suite est croissante)

On va le faire dans les 2 cas

On étudie le signe de: <math>\(u_{n+1}-u_n\)</math>

<math>\(u_{n+1}-u_n=\frac{(6n+7)(3n+1)-(6n+1)(3n+4)}{(3n+1)(3n+4)}\)</math>

Le numérateur est positif, le dénominateur est positif car <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math> donc le signe de <math>\(u_{n+1}-u_n\)</math> est positif. Par conséquent <math>\(u_n\)</math> est croissante.

On étudie le rapport de <math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)</math>

<math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\frac{6n+7}{3n+4}}{\frac{6n+1}{3n+1}}=\frac{(6n+7)(6n+1)}{(3n+1)(3n+4)}\)</math>

Comme <math>\(n \in \mathbb{N}\)</math>, <math>\((6n+7)(6n+1) > (3n+1)(3n+4)\)</math> le rapport <math>\(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)</math> est supérieur à 1, la suite <math>\(u_n\)</math> est donc croissante.

Les 2 méthodes sont équivalentes, après ça dépend de toi si tu es plus à l'aise avec l'une ou avec l'autre.

Majorant / Minorant

On cherche maintenant à savoir si la suite est majorée ou minorée

Minorant, tu regardes la valeur de la suite pour la plus petite valeur possible de n, ici 0.

<math>\(u_0=1\)</math>

On sait que la suite est strictement croissante, par conséquent pour n'importe quels valeurs de n, <math>\(u_n\)</math> sera toujours supérieure à 1, on peut donc prendre 1 comme minorant.

Pour le majorant !

Tu regardes la limite de ta suite quand n tend vers +oo,

En +oo, la suite <math>\(u_n = \frac{6n+1}{3n+1}\)</math> est équivalente à la suite <math>\(\frac{6n}{3n} = \frac{6}{3} = 2\)</math>

Par conséquent, quelque soit la valeur de n, tout tes <math>\(u_n\)</math> seront inférieurs à 2, 2 est donc ton majorant !


/!\ Si la suite avait été décroissante, il aurait fallu procéder autrement le minorant aurait été trouvé en faisant tendre n vers +oo, tandis que le majorant aurait été trouvé en prenant la plus petite valeur possible de n !

Borné ?

On dit que <math>\(u_n\)</math> est bornée si il existe un M tel que <math>\(|u_n| \leq M\)</math> donc ici comme u_n est positive et croissante tu as M = 2 donc ta suite est bornée.

Convergence:

La suite est bornée et monotone, par conséquent elle est convergente !

Et donc il te reste plus qu'à calculer la limite de u_n quand n tend vers +oo pour savoir vers qu'elle valeur elle converge

Citation : Ahti

Prenons la première:

<math>\(u_n=\frac{6n+1}{3n+1}\)</math>

Donc, on écris <math>\(u_{n+1}\)</math>

<math>\(u_{n+1}=\frac{6(n+1)+1}{3n+1}=\frac{6n+7}{3n+1}\)</math>

Un petit moment d'inattention dirons-nous...

Ah oui...

Jvais me pendre je reviens

Edit: Corrigé j'avais pas fait gaffe à mon Latex...

Merci c'est très gentil j'arrive à en faire quelques uns avec cette méthode, cependant, certains demeurent impossibles :
Un = racine de (n+1) - racine de n.

si quelqu'un a une idée

Merci d'avance

Une petite remarque sur la méthode de Ahti :
Tu utilises la limite en +oo (en utilisant les equivalents, ce qui ne doit pas etre dans le coirs du PO) pour prouver qu'il existe un majorant puis tu utilises le fait que ta suite soit croissante et majorée pour dire qu'il y a convergence, c'est un peu se mordre la queue.

Si on veut prouver les choses dans cet ordre : monotonie -> borne -> convergence, il faut prouver qu'il existe un majorant/minorant sans utiliser la limite, ou tout du moins sans l'écrire. Par exemple, ici, on a pour tout n :
<math>\(u_n-2=\frac{6n+1-2(3n+1)}{3n+1}=\frac{-1}{3n+1}<0\)</math> donc 2 est un majorant de u (ici on a "deviné" 2 en calculant la limite, mais on le dit pas). On aurait aussi très bien pu dire que <math>\(6n+1<9n\)</math> (par exemple) et que <math>\(3n+1>3n\)</math> (toujours par exemple) et donc que <math>\(u_n<\frac{9n}{3n}=3\)</math> et donc 3 est un majorant possible de u (qui n'est pas la limite)


Édit : pour <math>\(u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)</math> ce qui es gênant, c'est le moins. Pour s'en debarraser, une idée peut être de multiplier "en haut et en bas" par l'expression conjuguée <math>\(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\)</math>, ce qui donne :
<math>\(u_n=\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)</math> qui doit être plus simple à étudier.

Bonsoir,

Citation : budrys

Merci c'est très gentil j'arrive à en faire quelques uns avec cette méthode, cependant, certains demeurent impossibles :
Un = racine de (n+1) - racine de n.

si quelqu'un a une idée

Merci d'avance

C'est sans doute la moins immédiate des 4

Mais pour la monotonie avec <math>\(u_{n+1} -u_n}=\sqrt{n+2} +\sqrt{n } -2\sqrt{n+1}\)</math>,
On peut remarquer que la fonction <math>\(\sqrt{x}\)</math> étant concave, on peut écrire <math>\(\sqrt{ \frac{(n+2)}{2}+\frac{n}{2}}\geq \frac{1}{2}\sqrt{n+2}+ \frac{1}{2}\sqrt{n }\)</math> en appliquant l'inégalité fondamentale avec les valeurs ad-hoc.
Le fait que <math>\(u_{n+1} \leq u_n}=\)</math> en découle immédiatement en réordonnant cette inégalité et la suite est monotone décroissante.
( remarque:
On peut aussi le prouver en montrant que la dérivée de <math>\(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\)</math> est constamment négative)

La limite est nulle . Pour le prouver, on peut faire un développement limité lorsque n tend vers l'infini:
<math>\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} = \sqrt{n}\sqrt{1+1/n} -\sqrt{n}\)</math>
<math>\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \rightarrow \frac{\sqrt{n}}{2n}\)</math>
<math>\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \rightarrow \frac{1}{2\sqrt{n}}\)</math>
La limite est donc bien nulle.

Comme je le disais plus haut, je ne suis pas sur que le PO est déjà étudié les équivalents et les propriétés des fonctions concaves/convexes. Cependant la transformation que j'ai proposée ne fait intervenir qu'une simple identité remarquable et doit permettre de traiter l'exercice sans trop de difficulté.

LES R2PONSES SONT eactes et ssont d'une simplicité impécable!!! genial @nabucos