bonjour
j'aurais vraiment besoin d'aide pour réaliser ce DM car dès la première question je bloque

Énonce
Le plateau ABCD d'un billard est un rectangle de longueur 200cm et de largeur 100cm
On munit ce plateau d'un repère d'origine A et tel que le point B a pour coordonnées (20;0), C (20;10) et D (0;10)
On place une boule en E(1;8) et on cherche la position F sur le coté [AB] pour qu'après 3 "bandes", la boule entre dans le trou A.
La balle étant frappée sans effet:
-elle suit  une trajectoire rectiligne entre deux rebond;
-après chaque rebond, sa trajectoire est symétrique a celle précédant le rebond par rapport a la perpendiculaire au coté percuté
on note F (a;0) le premier point d'impact de la boule sur sur le coté [AB], a étant un réel de ]1;20[

1a déterminer les coordonnées du symétrique E' du point E par rapport a la droite d'équation x=a

mais du coup comment on calcul les coordonnées d'un symétrique par rapport a une droite

b justifier que la droite (FE') a pour équation -8x+(a-1)y+8a=0

je suppose que pour ca il faudra faire une équation cartésienne

c Determiner les coordonnées du point G intersection des droites (FE') et (BC). Donner les conditions d'existence de G

je sais comment calculer le point d'intersection mais je ne comprend pas "les condition d'existence"

2a justifier que, après avoir rebondi sur le coté [BC] la boule suit une trajectoire parallèle a la droite (EF)

Car elle n'a pas d'effet et que c'est le deuxième coup ?

b Déterminer une équation de la la droite  Δ parallèle a la droite (EF) passant par G

je ne sais pas comment déterminer la parallèle via des calculs

c En deduire de H, le point d'intersection des droites  Δ et (DC)a pour coordonnées (330-18a;10). donner les condition d'existence de H

comme pour la 1c

3 Determiner une équation de la parallèle a (FG) passant par H et conclure

Comme pour la 2b et je suppose que le fait de conclure va me donner a mais comment ?

Je vais répondre uniquement à la question 2 : "les fameuses conditions d'existence de G"

Oublie l'exercice de maths, et reviens à la table de billard. En faisant un dessin si nécessaire (c'est même quasi obligatoire de faire un dessin au moins au brouillon, pour te fixer les idées). Le point de départ est assez proche de D. On tire vers le bord AB. Si le 1er rebond est proche de B, alors clairement, le 2ème rebond sera sur le bord BC. Par contre, si on tire vers le début ou le milieu du segment AB, alors le 2ème rebond ne sera plus sur le bord BC, mais sur le bord CD. Et à l'extrème, si le 1er rebond est très proche de A, le 2ème rebond sera même sur le bord AD.

La question qu'on te pose, c'est donc : où doit être le 1er rebond pour que le 2ème rebond soit bien sur le bord BC ?

indications 

1-a si tu as fait un croquis comme conseillé par tbc92, tu dois te rendre compte que les coordonnées de ce symétrique E' sont faciles à trouver sans calcul compliqué puisque c'est le symétrique par rapport à la droite verticale x=a. Donc E' et E ont même ordonnée . Et l'abscisse, cela relève de l'addition ou soustraction.

1-b connaissant alors les coordonnées de E et E', tu as à déterminer l'équation cartésienne d'une droite passant par deux points...on est gentil, on te donne le résultat pour vérifier.

pour 1-c tbc92 a donné une explication sur ce que on te demande 

pour 2-a, ton commentaire est un constat qui ne répond pas à la question. Il faut faire un peu de géométrie pour une preuve rigoureuse.

pour 2-b,  le plus simple est de chercher l'équation de \(\Delta\)parallèle à (EF )passant par G sous la forme \(y=mx+b\),  la pente \(m\) des deux droites parallèles est évidemment  la même et tu as tous les éléments pour calculer la pente de (EF)  . Connaissant \(m\), il te suffit alors d'écrire que la droite passe par G  pour trouver \(b\). 

La suite est une répétition de ce qui vient d'être fait, à partir du point H cette fois.

Pour conclure après avoir déterminé l'équation demandée en 3, il te suffit d'écrire que cette droite dont l'équation dépend du paramètre \(a\) passe par l'origine A(0,0). Cela va te donner une équation en \(a\) dont la solution est la valeur cherchée.

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 6:51:11

bonjour,

merci pour toutes ces aides

j'arrive a la question 1c et je rencontre un probleme, c'est a dire que pour trouver le point d'intersection des deux droites il me faut un y or d'un cote j'ai y =  (a-1) et de l'autre cote y est nul (car je me retrouve avec une equation carthesienne 0(y+0)-(-10)(x-20) ) comment je dot faire a ce moment la?

J'ai fait un beau dessin avec des belles couleurs. Et la partie droite du dessin nous permet de voir qu'on cherche en fait l'équation de la droite qui va du point E(1,8) au point M(40,-20)

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Edité par tbc92 7 octobre 2018 à 10:58:55

désolé, LameSvr , j'ai du mal à comprendre ce que tu racontes

Si tu es  en 1-c, tu as dû trouver l'équation de FE' que on te donne d’ ailleurs  pour vérifier \(-8x+(a-1)y+8a=0\).Le point d'intersection cherché G a évidemment pour abscisse 20. L'ordonnée de G est obtenu en faisant x=20 dans cette équation .

tbc92, j'avoue ne pas comprendre. On cherche l'équation de FE', pas de FE comme il semble sur ton dessin,  et  et à quoi sert ce  M(40,-20) pour résoudre qui est certes un point  de FE dans sa position pour la solution du 3 bandes ,    

j'ai fait tous les calculs et en final on trouve \(a \sim 12.14\) vérifié sous Géogébra....et en tout cas il est certain que on n'a pas besoin de ce point M que on trouve a posteriori.

( à moins que tu es une solution (géométrique ?) pour montrer que EM est bien la position de la droite solution  attendue sans faire les calculs demandés )

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 12:24:36

Mon dessin correspond à l'équation du billard, en général. Ici, dans cet exercice, on décompose segment par segment, et du coup,mon dessin n'est pas forcément adapté.

Je suis très surpris que tu ne comprennes pas ce dessin, ni d'où vient ce point (40,-20)... 

Ici, l'angle entre la droite rouge et les bords du rectangle est proche de 45%, et c'est peut-être ça qui est trompeur.  Refais le dessin avec un angle proche de 30° par exemple, et ça devrait te sauter aux yeux.

Si on calcule la droite entre (1,8) et (40,-20), on trouve bien qu'elle coupe l'axe y=0 pour x= 85/7=12,14... C'est juste une méthode de vérification.

si j'ai compris d'où sort ce M (*)même si je me suis mal exprimé ,  mais je ne vois pas vraiment â  quoi il sert pour aider le demandeur qui rame déjà un peu .... Comme tu dis ici,  c'est juste une méthode de vérification.   mais je vois pas trop le but pour aider Lamesvr ...parce que avant de vérifier, il faut faire ce qui est demandé  

(*) tu as peut-être lu un premier message écrit trop vite corrigé dans la foulée ...

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 12:54:48

Je comprend pas trop les dessins mais mon problème pour trouver l'ordonnee est que je ne sais pas où placer mon (a-1)

Je fait -8*20 +(a-1)y+8a

Donc y =-160+8a/(a-1)?

presque ...erreur de signe après avoir oublié =0 ... !
En fait, \(y=\frac{160-8a}{a-1}\)

tu veux dire quoi en disant " je ne sais pas où  placer mon (a-1)" 

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 15:05:38

  à chaque étape je ne comprends pas ce que tu dis ou fais  ...tu es en quelle classe?

ici \(y\) dépend de \(a\) , à ce stade tu ne peux connaitre sa valeur, d'où peux tu sortir ce 152.  Comme dit précédemment , \(a\) solution du 3 bandes vaudra après calculs \(\frac{85}{7} \sim 12.14\)   .

A ce stade, toutes les coordonnées calculées et les équations de droites dépendent de \(a\). On t'amène pas à pas à la question 3 qui permet de calculer \(a\) pour que le 3 bandes soit réussi  en écrivant que la droite passant par H parallèle à FG doit passer par l'origine. 

L'exercice est certes un peu pénible sur le plan du calcul mais pas difficile si tu maîtrises  les équations cartésiennes (?)... 

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 16:31:41

Incroyable mais vrai je suis en 1ereS (et du coup je galère énormément )

J'ai trouvé ce résultant en simplifiant, en supprimant le a en haut et en bas ,ce qui m'a donné 160 -8/ -1 =-152 mais du coup jai compris mon erreur 

Maintenant j'en suis à la question suivante le résultant que j'ai trouvé me paraît bizarre car j'ai trouvé 8x+(a-1)y+168a/(a-1) que j'ai trouvé grâce aux toutes premières explications 

y=mx+b

y (de G) =-160 +8a /a-1  M = 8  x (de G) =20 

Du coup b= -160+8a /a-1 -160 => -160+8a+160a/a-1 => -160+168a/a-1

 Prends l'habitude de ne pas oublier le second membre de tes équations même si c'est zéro.

 \(8x+(a-1)y +168a/a(a-1)=0  \)

 le terme constant est faux .

On a bien, en écrivant sous la forme \(y=mx+b\),  \(y=-\frac{8x}{a-1}+b\) et on obtient \(b\) en remplaçant \(x,y\) par les coordonnées de G, soit \(x=20, y=\frac{160-8a}{a-1}\). Je ne comprends pas ton calcul...ta façon de calculer reste pour moi un mystère. Je ne suis même pas capable de dire où tu te trompes ....

Il vient simplement en substituant dans l'équation \(\frac{160-8a}{a-1}=-\frac{160}{a-1}+b\)

D'où \(b=\frac{160-8a}{a-1}+\frac{160}{a-1}=\frac{320-8a}{a-1}\)

L'équation est donc \(y=-\frac{8x}{a-1}+\frac{320-8a}{a-1}\) que l'on peut écrire aussi sous la forme  \(8x+(a-1)y +8a-320 =0\)

...après il te reste à calculer les coordonnées de H et l'équation de la droite passant par H. C'est le même principe!

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Edité par Sennacherib 7 octobre 2018 à 18:28:57