Hello,

Je dois faire un exercice qui me dit :

Supposez qu'un générateur de nombres aléatoires uniformes entre 0 et 1 vous fournisse la valeur 0.6. quelles valeurs obtiendrez-vous pour une variable aléatoire<math>\($X$\)</math>si vous appliquez la technique de la fonction inverse dans les cas suivants :

<math>\($X$\)</math> a pour fonction de répartition <math>\($F(x)=\begin{cases} 1 & {\rm si\,}x>4\\ \sqrt{x}-1 & {\rm si\,}1\leq x<4\\ 0 & {\rm si\,}x\leq1\end{cases}$\)</math>

J'ai deux problèmes

• Je ne sais pas comment trouver la fonction inverse : je ne comprends pas ce que cela signifie
• La fonction est composée : dois-je donc trouver 3 fonction composée et additionner le tout ???

Merci d'avance pour votre aide

Il te suffit de calculer la réciproque (~ l'inverse) de F. On appelle cette réciproque F^-1.

Tu auras alors : X=F^-1(U) où U est uniforme entre 0 et 1.

Arrives tu à calculer F^-1 ?

Edit : apparement c'est sur la "fonction inverse" que tu bloques.

La fonction réciproque (appelée par abus "inverse" dans cette méthode ...), est telle que :
F(F^-1(x)) = x

Pour la calculer, tu poses l'équation de variable x : y=F(x)
Tu te dépatouilles dans les calculs (quitte à faire plusieurs cas selon la valeur de y), et tu arrives à quelquechose de la forme :
x="une expression qui ne dépend que de y"

Et tu auras en fait trouvé :
x=F^-1(y)

Est-ce clair ?

Citation : sebsheep

Il te suffit de calculer la réciproque (~ l'inverse) de F. On appelle cette réciproque F^-1.

Tu auras alors : X=F^-1(U) où U est uniforme entre 0 et 1.

Arrives tu à calculer F^-1 ?

C'est exactement mon probème : je ne sais pas comment calculer une fonction inverse : est-ce complexe à réaliser ?

Edit : oups j ai pas vu ton edit.... J vais tester ce que tu me dis

Reedit :

Bah écoute si je captes le délire il y a un <math>\(F(x)\)</math> et ce <math>\(F(x)\)</math> équivaut à <math>\(y\)</math>.

En gros j'ai <math>\(y=\sqrt{x}-1\)</math>

Ensuite je dois retourner le tout afin de trouver <math>\(x\)</math>

Quand je fais cela je trouve <math>\(x=(y+1)^{2}\)</math>

Ensuite je fais <math>\(x=(0.6+1)^{2}\)</math> et j'obtiens <math>\(x=2.56\)</math>

Mais je fais quoi avec le reste ?? A savoir : <math>\(F(x)=\begin{cases} 1 & {\rm si\,}x>4\\ \\0 & {\rm si\,}x\leq1\end{cases}\)</math>
Il n'y a pas d'inconnues dans ces deux variables ??

F n'est pas injective (c-à-d plusieurs points sont envoyés sur la même valeur), donc la fonction inverse de F n'existe pas

Citation : krosian

F n'est pas injective (c-à-d plusieurs points sont envoyés sur la même valeur), donc la fonction inverse de F n'existe pas

Certes mais si on s'arrête là, on ne peut pas utiliser cette méthode, qui est fort bien pratique !

Vu qu'après on va ne faire bouffer à F^-1 un nombre entre 0 et 1, il suffit de définir F^-1 sur ]0,1[ (ce qui est possible car en faisant un bonne restriction, F est injective). Après, on prolonge F^-1 par continuité pour avoir les valeurs en 0 et 1 (et même en théorie, on peut se permettre de ne pas définir ces valeurs, vu que U prendra les valeurs 0 ou 1 avec une probabilité nulle :p).

C'est un peu cracra dit comme ça, mais faut voir qu'en fait c'est assez naturel "en pratique". Si tu veux être vraiment rigoureux, faut définir la pseudo inverse à coup d'infimum ... pas très très agréable ...

@arif85, oui tu as donc que F^-1(y)= (y+1)².

Oui, l'énoncé te donnant U=0.6, tu as donc X=(0.6+1)² = 2.56 (il s'agit bien de X, la variable aléatoire, et non de x).

Ok merci beacoup @sebsheep pour toutes ces précisions cela m'a bien aidé