Bonjour à tous,

Il y a peu, j'ai eu un concours de math dont l'une des questions était celle-ci ou environ.

Trouvez l'équations et résolvez celle-ci de :

sqrt( 12+sqrt ( 12+sqrt (...) ) )

Ainsi, on voit une infinité de sqrt + 12 imbriquées. Donc, si on le fait rapidement sur une calculatrice, on remarque que la réponse s'approche de 4 sans y toucher, c'était ma réponse. Toutefois, comment écrire mathématiquement cette réponse et la formule de l'équation

Merci en avance

Ps Désolé de mes non-connaissances du latex :S

Salut,

Tu cherches un nombre <math>\(x\)</math> tel que tu le décris. Comme tu as une infinité de fois l'application de <math>\(\sqrt{12 + x}\)</math>, tu peux l'appliquer encore une fois, sans que ça change le résultat. On obtient donc l'équation <math>\(x = \sqrt{12 + x}\)</math>, soit <math>\(x^2 -x - 12 = 0\)</math> et <math>\(x > 0\)</math>. Ça te donne donc la solution de 4 que tu as trouvé.

En espérant que c'est assez clair

Soyons plus précis, on veut ici une limite, donc une suite. On peut poser par exemple :
<math>\(u_0 = 0\)</math>
<math>\(u_{n+1} = \sqrt{12 + u_{n}}\)</math>.
On veut savoir si cette suite converge, et si elle converge, vers quoi. Voilà, la problème est bien posé.

Le raisonnement de wargotad est juste, mais pas complet. En effet il a démontré que SI cette suite converge, ALORS elle converge vers 4. Cependant rien n'assure a priori sa convergence. Il manque ici un argument.

Pour le compléter, on pourrait par exemple montrer que cette suite est croissante et majorée.

Mettons un peu plus en lumière ce que j'ai dit précédement en donnant un exemple. Si je considère la suite
<math>\(v_0 = 1\)</math>
<math>\(v_{n+1} = 1 + \frac{v_{n}}{2}\)</math>,
alors si la suite converge vers <math>\(l\)</math>, on aurait <math>\(l = 1 + \frac{l}{2}\)</math> i.e. <math>\(l = 2\)</math>.
Et pourtant cette suite ne converge pas (pourquoi ?).

Et pourtant elle converge.
Par contre si on prend <math>\(v_{n+1}=1+2v_n\)</math>, alors la seule limite possible finie est l tel que <math>\(l=1+2l\)</math> donc l=-1, or si on prend <math>\(v_0>0\)</math>, la suite va rester positive (récurrence immédiate), et donc ne pourra converger vers -1, donc diverge.

Qui converge ?

Bonjour,

Il me semble que l' on peut préciser autrement la légitimité ce que propose @wargotad si on considère connu le théorème du point fixe qui résoud immédiatement la question de convergence.

Résoudre <math>\(x=\sqrt{x+12}\)</math>, revient à chercher un point fixe de la fonction <math>\(f(x)=\sqrt{x+12}\)</math>, on trouve donc <math>\(x = 4\)</math>.

Mais le théorème du point fixe justifie que , si f(x) est contractante dans un intervalle I , elle y posséde un unique point fixe et la suite définie par <math>\(u_{n+1}=f(u_n})\)</math> pour <math>\(u_0 \in I\)</math> converge vers lui.

Il suffit donc de montrer que <math>\(f(x)=\sqrt{x+12}\)</math> est contractante sur tout intervalle <math>\([0,a]\)</math> pour conclure ce qui est facile dans la mesure où cette fonction est concave, et on aura <math>\(\vert f(x)-f(y)\vert<f'(0)\vert x-y\vert\)</math> avec <math>\(f'(0)=\frac{1}{4\sqrt{3}}<1\)</math>

La suite que tu proposes.

Si on pose <math>\(\forall n\in \mathbb{N}, \ w_n=v_n-2\)</math>, alors on a :
<math>\(\forall n\in \mathbb{N}, \ w_{n+1}=v_{n+1}-2=\frac{v_n}{2}-1=\frac{v_n-2}{2}=\frac{1}{2}w_n\)</math>, donc <math>\((w_n)\)</math> est une suite géométrique de raison <math>\(0<\frac{1}{2}<1\)</math> (et de premier terme <math>\(w_0=-1\)</math>) donc elle converge vers <math>\(0\)</math> et donc <math>\((v_n)\)</math> converge bien vers <math>\(2\)</math>.

Merci pour toutes vos réponses, bien que je n'en comprenne néanmoins peu de théorèmes (16 ans, au Canada). J'ai lu que vous disiez que la réponse ne convergeait pas, pourtant numériquement, cela me semble converger ? Ensuite, écrire la réponse 4 ne me semble pas juste, car ce n'est pas 4, elle ne le touche jamais :S

Si, la suite correspondant à ton problème converge. Le fait qu'elle n'atteigne jamais 4 n'est pas un problème dans la mesure où l'on cherche une limite.
Autrement dit, quand tu essaies d'approximer x en mettant un nombre fini de <math>\(\sqrt{12+...}\)</math>, il est normal que tu n'atteigne jamais x parfaitement, il faut une infinité de <math>\(\sqrt{12+...}\)</math> pour obtenir exactement 4 et c'est impossible de faire cela à la calculatrice.

Tiens, c'est marrant, j'avais fait cet exercice aussi, mais avec un cas général. J'ai trouvé <math>\(\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{1}{4}+k}\)</math> pour la suite <math>\(U_0 = \sqrt{k}\)</math> et <math>\(U_{n+1} = \sqrt{U_n+k}\)</math>.

edit : correction d'une erreur...