Bonjour,
Je viens poster, car j'ai un petit soucis de compréhension sur la théorie des groupes.
Les seuls cours que j'ai trouvé sur internet en donne les définitions mais aucun ne propose d'exemples concrets et ayant un niveau pas très élevé en math. J'ai du mal à voir ce que tout cela signifie, en gros il me faut du concret. Si des personnes auraient la gentillesse de m'expliquer/montrer des exemples simples, j'en serais très reconnaissant.

Salut!
La définition d'un groupe noté (G,*) c'est un ensemble G muni d'une loi interne *.
Loi interne parce que si tu prend 2 éléments x et y de G alors x*y est aussi dans G
La loi
-admet un neutre, noté en générale e qui vérifie pour tout élément x de G x*e=e*x=x (Les 2 égalités sont trés importantes)
-est associative : si x,y et z sont dans G alors (x*y)*z=x*(y*z)
-tout éléments est inversible pour cette loi i.e. si x est dans G il existe y dans G tel que x*y=y*x=e. y est appelé l'inverse de x.

exemple concret :
Groupe dit additif (car la loi est l'adition)
(Z,+) , (R,+)
Groupe multiplicatif (* est la multiplication)
(R*,*),(C*,*) etc...

par exemple (Z*,*) n'est pas un groupe car l'inverse d'un élément z de Z différent de 1 ou -1 n'est pas dans Z

Je reprends ton dernier exemple en l’appliquant :
Donc si je prends (Z*,*).
Associativité ?
Prend x = -2 , y = 1, z = 4 ;
((-2)*1)*4 = -8
(-2)*(1*4) = -8
((-2)*1)*4 = (-2)*(1*4)
(x*y)*z = x*(y*z)
Donc il y a associativité.

Elément neutre ?
Pour une multiplication l’élément neutre est 1.

Tous les éléments inversibles ?
Non car seul 1 et -1 sont inversibles et de plus on ne retombe pas sur l’égalité avec l’élément neutre.
Donc (Z*,*) n’est pas un groupe. Merci pour l’exemple, les définitions sont plus claires maintenant.
Peux-tu résumé les sous-groupes avec un exemple également ?
Merci d’avoir pris le temps de me répondre.

Un sous groupe est un sous ensemble d'un groupe qui est encore un groupe (pour la meme loi)

Ben par exemple les sous groupes de <math>\(\mathbb{Z}\)</math> sont de la forme <math>\(n\mathbb{Z}\)</math> avec n entier (l'ensemble des multiples de n), les sous groupes de <math>\(\mathbb{R}\)</math> sont soit dense soit de la forme <math>\(a\mathbb{Z}\)</math> avec a réel.
Un sous groupe de <math>\((\mathbb{R}^\star,\times)\)</math> est par exemple {-1,1}.
D'une manière générale un groupe a toujours deux sous-groupes (éventuellement égaux) lui même et {élément neutre}

Par contre les entiers naturels est un sous ensemble de <math>\(\mathbb{Z}\)</math> l'addition y est encore une loi interne associative et garde l'élément neutre, mais 1 par exemple n'a pas d'inverse dans <math>\(\mathbb{N}\)</math>, car -1 n'appartient pas à <math>\(\mathbb{N}\)</math> donc <math>\(\mathbb{N}\)</math> n'est pas un groupe pour l'addition usuelle.

(bien sur on peut bidouiller pour inventer une loi qui donnera à <math>\(\mathbb{N}\)</math> une strucutre de groupe, pour ça il suffit de prendre une bijection f entre <math>\(\mathbb{Z}\)</math> et <math>\(\mathbb{N}\)</math> et de définir <math>\(\oplus\)</math> une loi de composition interne dans <math>\(\mathbb{N}\)</math> par <math>\(f(a)\oplus f(b)=f(a+b)\)</math> pour tout a et b entiers relatifs, ainsi (<math>\(\mathbb{N},\oplus\)</math>) deviendra un groupe, mais ça n'a que peu d'intérêt.

Bonjour,

Il peut être intéressant de te donner quelques autres exemples montrant que la notion de groupe et de sous groupe est trés large.

Les structures de groupes peuvent se construire sur des ensembles qui ne sont pas des nombres et sur des ensembles finis.
Les groupes finis ( c.a.d tout simplement ayant un nombre fini d'éléments appelé ordre du groupe) forment une catégorie importantes des applications.
Des exemples importants en lien avec la géométrie
- les rotations planes de centre O etd'angle <math>\(\[ \dfrac{2\pi k}{n} ,0\leq k\leq n-1\]\)</math> forment un groupe d'ordre n
- les rotations et les symétries du plan conservant un polygone régulier à n sommets forment un groupe d'ordre 2n appelé groupe diédral souvent noté <math>\(\[ \mathcal{D}_{n} \]\)</math>
- dans l'espace à trois dimensions,
* les isométries forment un groupe noté O(3).
* Le sous groupe des rotations de <math>\(\[ \mathcal{R}{^3} \]\)</math> noté SO(3)
*la classification de tous les sous groupes de O(3) et SO(3)a d'importantes applications en physique
*parmi elles, citons ceux qui laissent invariants des polyédres réguliers.Ils sont usuellement appelés groupes cristallographiques parce qu'ils sont, en physique du solide à la base de la classification systématique des structures des cristaux.

Les groupes finis ne sont pas que géomériques bien sûr( mais y sont souvent reliés):
- les racines nième de l'unité <math>\(\[ \lbrace e^{\dfrac{2i\pi k}{n}},0\leq k\leq n-1 \rbrace \]\)</math>forment un sous groupe de <math>\(\[ \mathcal{C}} \]\)</math>
- un groupe fini trés important est le groupe symétrique <math>\(\[ \mathcal{G}_{n} \]\)</math>. C'est tout simplement l'ensemble des bijections d'un ensemble de n éléments sur lui-même ( dit autrement l'ensemble des permutations) Son ordre est donc n! et devient vite trés grand. Donc l'étude de sa structure en sous groupes devient vite complexes.
Son importance vient du fait que ce groupe et ses sous groupes peuvent être reliès à d'autres groupes apparemment sans rapport par ce que l'on appelle un isomorphisme ( sommairement, cela veut dire que les groupes sont différents mais que la loi de composition de l'un se comporte comme l'autre et donc, comprendre le comportement de l'un permet de connaitre celui de l'autre)
- enfin indiquons que des groupe finis peuvent être construits à partir de groupes infinis.
J'illustre par un exemple simple mais fondamental une telle construction:
L'exemple déjà cité de <math>\(\[ \mathcal{Z}\]\)</math> et des sous-groupes <math>\(\[ n\mathcal{Z} \]\)</math>\ permet de définir le groupe fini <math>\(\[ \mathcal{Z}_{n}= \mathcal{Z}/n\mathcal{Z} \]\)</math>dont on peut expliquer la nature de façon simple à partir de la division euclidienne: <math>\(\[ a=nq+r , 0\leq r \leq \leq n-1\]\)</math>
On voit que par cette opération l'ensemble <math>\(\[ \mathcal{Z}\]\)</math> peut être exhaustivement scindé en sous ensembes disjoints correspondant aux nombres ayant le même reste par division par n ( on dit que l'on réalise une partition de <math>\(\[ \mathcal{Z}\]\)</math> et chaque sous ensemble est une classe)
La division euclidienne par n conduit donc à n classes sur Z
Si on note <math>\(\[ \dot{0},\dot{1},\dot{2}...,\dot{(n-1)} \]\)</math> ces n classes , elles constituent les éléments d'un nouvel l'ensemble \<math>\(mathcal{Z}/n\mathcal{Z}\)</math> qui a une structure de groupe induite par la loi. Sans faire une démonstration compléte montrons comment cela fonctionne:
Prenons par exemple n=10
deux exemples d'addition dans le nouveau groupe
- on ne dépasse pas n
<math>\(\[ \dot{3}+\dot{4}=? \]\)</math>
<math>\(\[ a=10q+4 b=10q+3 \Longrightarrow a+b =10q +7\]\)</math>
<math>\(\[ \dot{3}+\dot{4} = \dot{7} \]\)</math>

on dépasse n
<math>\(\[ \dot{6}+\dot{9}=? \]\)</math>
<math>\(\[ a=10q+6 b=10q+9 \Longrightarrow a+b =10q +15 \Rightarrow\ a+b=10(q+1)+5 \]\)</math>
<math>\(\[ \dot{6}+\dot{9} = \dot{5} \]\)</math>

recherche formelle de l'inverse
l'élément neutre est évidemment la classe <math>\(\dot{0}\)</math> ensemble des entiers divisibles par 10
alors
<math>\(\[ \dot{7}+\dot{x}= \dot{0},x=? \] \[ a=10q+7 b=10q+x \Rightarrow a+b=10q+7+x\]\[a+b\in \dot{0}\Rightarrow 7+x=10\Rightarrow \dot{x}=\dot{3} \]\)</math>
En réalisant complétement l'exercice amorcé ici, on peut construire ce que l'on appelle pour les groupes finis la table du groupe.
Plus généralement cette opération de construction illustré ici dans le cas simple de <math>\(\[ \mathcal{Z}\]\)</math> s'appelle construction par passage au quotient entre un groupe et un de ses sous-groupes , possible sous certaines conditions sur le sous groupe.

J'en arrêterai là pour les groupes finis mais je terminerai en revenant sur les groupes infinis en donnant un autre exemple essentiel par ses applications
C'est l'ensemble des matrices inversibles d'ordre n sur <math>\(\[ \mathcal{R}\]\)</math> ou <math>\(\[ \mathcal{C}\]\)</math> (appelé savamment groupe des isomorphismes linéaires de <math>\(\[ \mathcal{R}^{n} \]\)</math> ou <math>\(\[ \mathcal{C}^{n} \]\)</math>)
Cet ensemble comprend de nombreux sous groupes importants.
On citera sans exhaustivité
groupe orthogonal ( matrices orthogonales avec un sous ensemble importants des matrices de déterminant 1)
dans C, groupe unitaire ( matrice unitaire avec de même le sous ensemble de déterminant 1)
Ces structures ont des applications fondamentales en physique théorique, mécanique quantique , relativité par exemple

Je m'arrête la en espérant avoir complété utilement par ce survol les exemples déjà donnés pour une ouverture sur le vaste champ associé à la théorie des groupes

(NB: il est vrai que , comme dit, le Net ne fourmille pas de sites d'initiation simple sur ce sujet ...un tutoriel serait peut être un bon créneau?)

Citation : nabucos

(NB: [...] un tutoriel serait peut être un bon créneau?)

Excellente initiative !

Si tu te sens inspiré, ce serait très apprécié !

Bonjour,

Merci nabucos et L01c pour vos explications supplémentaires. Pas mal de choses à digérer mais ça me semble beaucoup plus clair
Il est vrai qu'un tutoriel sur le sujet serait très apprécié étant donné qu'à part un exemple avec le Rubik's cube je n'ai rien trouvé d'imager et simple.

Bonsoir,

Désolé du double post, mais j'ai besoin d'un peu d'aide.
Je sais que l'addition et la multiplication sont associatives dans C
Mais j'arrive pas à le prouver en rédigeant et je n'ai pas trouver d'exemples sur internet, à part cette affirmation.
Pourriez-vous m'aider?

Ben tu prends trois nombres complexes que tu écris sous forme algébrique et tu calcules les deux produits/somme.
Seulement pour ça tu vas devoir utiliser (et donc admettre) l'associativité l'addition et de la multiplication des réels.

Donc en gros pour (C,+)

x = (3+2i) ; y = (7+8i) ; z = (4 +2i)
((3+2i) +(7+8i) )+ (4 +2i) = (3+7+4) + (2+8+2)i = 14 + 12i
(3+2i) +((7+8i) +(4 +2i)) = (3+7+4) + (2+8+2)i = 14 + 12i

((3+2i) +(7+8i) )+ (4 +2i) = (3+2i) +((7+8i) +(4 +2i)) donc associativité.
C'est exact?

Enfin on ne prouve pas l'associativité avec des exemples, mais avec des lettres qui vont désigner des réels quelconques.
Par exemple <math>\([(a+ib)+(a'+ib')]+(a''+ib'')=((a+a')+i(b+b'))+(a''+ib'')=[(a+a')+a'']+i[(b+b')+b'']\)</math>

Oui, enfin là c'est pas vraiment une preuve, tu le fais sur un exemple. Et tu ne mets pas vraiment en valeur l'argument-clé : l'associativité sur R (comme l'a fait remarquer LO1c).
<math>\(((3+2i) + (7+8i)) + (4+2i) = (10+10i)+(4+2i) = 14+12i\)</math>
<math>\((3+2i) +((7+8i) +(4 +2i)) = (3+2i) + (11+10i) = 14+12i\)</math>
De plus tu utilises la notation <math>\(a+bi\)</math> à un stade où l'on n'a pas encore tout prouvé sur les opérations de C ; généralement à ce stade des preuves on utilise la notation <math>\((a,b)\)</math> pour bien montrer que l'on a affaire à des couples de réels.

Edit : grillé.

krosian : je suis pas sûr (au vu de son niveau) qu'il voie les complexes comme des couples de réels.
Du coup pour répondre à sa question il peut admettre que les complexes existent que l'addition et la multiplication sont bien définies comme on le veut et chercher à démontrer à l'associativité.

D'accord, merci pour la précision

Citation : L01c

Enfin on ne prouve pas l'associativité avec des exemples, mais avec des lettres qui vont désigner des réels quelconques.
Par exemple <math>\([(a+ib)+(a'+ib')]+(a''+ib'')=((a+a')+i(b+b'))+(a''+ib'')=[(a+a')+a'']+i[(b+b')+b'']\)</math>

Tu utilise également la commutativité de + dans C pour faire ça ... A ce niveau là, mieux vaut admettre en bloc associativité et commutativité de l'addition et multiplication, la véritable justification de ces propriétés faisant appel à la structure profonde des corps R et C. Et peu de monde se soucie vraiment de ce genre de questions en général lorsqu'on fait des maths (on préfère voir les réels et les complexes comme des nombres quelconques, et non des classes d'équivalences peu pratiques pour raisonner :p).

Où ai-je utilisé l'associativité des complexes ?
J'ai juste utilisé le fait que les complexes s'ajoutent en ajoutant parties réelles et en ajoutant les parties imaginaires entre elles, ce qui est la définition de l'addition des nombres complexes quand on les voit comme couples de réels ou comme matrice de la forme <math>\(\begin{pmatrix}a & -b\\ b &a\end{pmatrix}\)</math> ou tel qu'on l'admet en TS.

D'ailleurs je l'ai dit dans mon précédent post qu'il pouvait supposer que les complexes et leurs opérations étaient bien définis et vérifier leurs propriétés.

Citation : sebsheep

Citation : L01c

Enfin on ne prouve pas l'associativité avec des exemples, mais avec des lettres qui vont désigner des réels quelconques.
Par exemple <math>\([(a+ib)+(a'+ib')]+(a''+ib'')=((a+a')+i(b+b'))+(a''+ib'')=[(a+a')+a'']+i[(b+b')+b'']\)</math>

Tu utilise également la commutativité de + dans C pour faire ça ...

Il n'utilise pas la commutativité de + dans <math>\(\mathbb C\)</math> mais l'associativité de + dans <math>\(\mathbb R\)</math> (ie. <math>\((a+a')+a'' = a+(a'+a'')\)</math> car <math>\(a\)</math> et <math>\(a'\)</math> sont réels, de même pour <math>\(b\)</math> et <math>\(b'\)</math>), et la définition de la loi de composition + dans <math>\(\mathbb C\)</math> (ie. <math>\((a+ib)+(a'+ib') = (a+a' )+ i(b+b')\)</math> ).

Citation : sebsheep

A ce niveau là, mieux vaut admettre en bloc associativité et commutativité de l'addition et multiplication, la véritable justification de ces propriétés faisant appel à la structure profonde des corps R et C. Et peu de monde se soucie vraiment de ce genre de questions en général lorsqu'on fait des maths (on préfère voir les réels et les complexes comme des nombres quelconques, et non des classes d'équivalences peu pratiques pour raisonner :p).

La construction de <math>\(\mathbb R\)</math> n'est pas évidente oui, mais là on parle de <math>\(\mathbb C\)</math>, et presque tout le boulot à déjà été fait sur <math>\(\mathbb R\)</math> donc vérifier les propriétés dans <math>\(\mathbb C\)</math> est assez simple.
Donc non, pas besoin de faire appel à des constructions complexes à base de classes d'équivalence pour montrer ces propriété de <math>\(\mathbb C\)</math>.