Bonjour

Je me demandais si l'un de vous savait comment prouver cette identité :
<math>\(\frac{\partial P}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial P} = -1\)</math>
où P,V et T sont la pression, le volume et la température, bien entendu !

j'imagine que ton égalité est pour un gas parfait. donc on commence avec l'équation :
<math>\(p*V=n*R*T\)</math>
on isole p, T et V :
<math>\(p(n,V,T)=\frac{n*R*T}{V}\)</math>
<math>\(T(n,p,V)=\frac{p*V}{n*R}\)</math>
<math>\(V(n,p,T)=\frac{n*R*T}{p}\)</math>
on prend les dérivées partielles :
<math>\((\frac{\partial p}{\partial T})_{n,V}=\frac{n*R}{V}\)</math>
<math>\((\frac{\partial T}{\partial V})_{n,p}=\frac{p}{n*R}\)</math>
<math>\((\frac{\partial V}{\partial p})_{n,T}=-\frac{n*R*T}{2*p^{2}}\)</math>
on multiplie le tout et on simplifie :
<math>\((\frac{\partial p}{\partial T})_{n,V}*(\frac{\partial T}{\partial V})_{n,p}*(\frac{\partial V}{\partial p})_{n,T}=\frac{n*R}{V}*\frac{p}{n*R}*-\frac{n*R*T}{2*p^{2}}=-\frac{n*R*T}{p*V}\)</math>
et là, soit tu reconnais tout de suite l'égalité des gas parfait de laquelle on est parti, soit tu fais une substitution du genre :
<math>\(-\frac{n*R*T}{p*V}=\frac{n*R*T}{p}*\frac{1}{V}=-\frac{V}{V}=-1\)</math>
q.e.d.

J'ai oublié de préciser que je ne faisais aucune hypothèse sur le gaz...

Bon, j'ai retrouvé la démo, la voici pour ceux qui seraient intéressés :
<math>\(dP = \frac{\partial P}{\partial V}dV + \frac{\partial P}{\partial T} dT\)</math>
<math>\(dP = \frac{\partial P}{\partial V}(\frac{\partial V}{\partial P}dP + \frac{\partial V}{\partial T}dT) + \frac{\partial P}{\partial T} dT\)</math>
<math>\(dP = dP + (\frac{\partial P}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T} + \frac{\partial P}{\partial T})dT\)</math>
<math>\(0 = (\frac{\partial P}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T} + \frac{\partial P}{\partial T})dT\)</math>
<math>\(0 = \frac{\partial P}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T} + \frac{\partial P}{\partial T}\)</math>
<math>\(\frac{\partial P}{\partial V}\frac{\partial V}{\partial T} = -\frac{\partial P}{\partial T} = -\frac{1}{\frac{\partial T}{\partial P}}\)</math>
<math>\(\frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P} = -1\)</math>
Ah tiens je me suis gourré de formule, bon en prenant l'inverse on obtient celle que je voulais...

t'es sur que DA/DB = 1/(DB/DA) (où D est le d rond...) pour toute "fonction" de physique ? Fin moi j'ai été un peu habitué au "en physique on fait ce qu'on veut" mais bon. Ok pour le df/dx = 1/(dx/df) mais avec les d rond ?

À mon avis on peut faire le même genre de démo : on considère deux variables U et V (tout ce qui peut exister d'autre étant constant), on a <math>\(dU = \frac{\partial U}{\partial V} dV = \frac{\partial U}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial U}dU\)</math> donc <math>\(\frac{\partial U}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial U} = 1\)</math>.

Ouais mais nan en fait c'est vraiment bizarre c't'affaire oO
En tout cas t'as rien démontré. Si j'te rajoute un troisième variable d'état tu peux plus m'la refaire cette démo. À noter que la "démo" serait valable pour n'importe quel triplet de fonctions d'état. Bref ça demande éclaircissement.

J'avoue que c'est bizarre
Le truc c'est qu'on a jamais vraiment défini ce qu'était une "variable physique". C'est un truc louche à la limite entre fonction et variable puisque ça peut être à la fois en haut et en bas de l'opérateur de dérivation partielle...

Bonjour,
une éventuelle contribution à la discussion
Au départ la relation est tout à fait générale pour une fonction différentiable de la forme
z=f(x,y)
Et n'a rien de spécifique à la thermodynamique.
En écrivant dz =0, en développant et en ayant bien en tête que chaque dérivée partielle est à trosiième variable constante, la démonsntration se fait en deux lignes en manipulant convenablement les dérivées partielles ( NB: la relation d'inversion reste vraies pour les dérivées partielles.)
Appliqué à la thermo., cette expression mathématique générale permet d'en dériver toute une série, outre celle indiquée, à partir des expressions différentielles des diverse fonctions d'état ( entre P,T,S, entre H,U et T ,etc etc...)

Citation : GuGus963

t'es sur que DA/DB = 1/(DB/DA) (où D est le d rond...) pour toute "fonction" de physique ? Fin moi j'ai été un peu habitué au "en physique on fait ce qu'on veut" mais bon. Ok pour le df/dx = 1/(dx/df) mais avec les d rond ?

on fait pas du tout ce qu'on veut en physique - et j'en sais quelque chose, j'ai fait de la physique théorique

Quoiqu'il en soit, cette égalité est parfaitement mathématique - à condition toutefois d'avoir quelques hypothèses - probablement existence et continuité de l'application partielle <math>\(x\mapsto\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{y=y_0}\neq 0\)</math> si mes souvenirs sont bons... Le fait qu'il s'agisse de dérivées partielles, on s'en fiche royal en fait si on fixe toutefois les autres variables... on se retrouve avec une fonction à une variable !

PS : pour le <math>\(0\)</math>, je suis feignant d'écrire, c'est évidemment pour un <math>\(x\)</math> fixé (pitié, me tapez pas !!)

REPS : la magie des "D ronds" est bien expliquée dans tout cours de géométrie différentielle c'est en pensant "géométrie différentielle intrinsèque" qu'après, on de raconte plus de 'clowneries' sur l'utilisation des ces outils (un exemple de bon cours : le Berger & Gostiaux je pense )

C'est une classe de fonction qui permet ces manipulations avec les D ronds... Cette classe de fonction est très restreinte, mais ce sont majoritairement celle utilisé en physique d'où le "En physique on a le droit de faire ce qu'on veut".
Enfin, il existe une preuve mathématique, reste à la trouver...

En fait, si quelqu'un avait une définition propre des "fonctions" (je crois qu'il faut dire grandeur) qu'on utilise en physique, notamment comment modéliser le fait qu'elles dépendent toutes les unes des autres...

Citation : krosian

En fait, si quelqu'un avait une définition propre des "fonctions" (je crois qu'il faut dire grandeur) qu'on utilise en physique, notamment comment modéliser le fait qu'elles dépendent toutes les unes des autres...

euh... plaît-il ??? ça c'est le boulot du physicien justement de savoir qui dépend de quoi. C'est le but de la recherche de modèles. Il n'y a pas à proprement parler de techniques en fait. C'est dans le cadre d'un modèle où l'on dit : "voilà, j'ai une grandeur, et selon mon modèle elle dépend de ça, ça et ça". Ce dont dépend les grandeurs dépendent, ça dépend du modèle physique dans lequel on se place si je puis m'exprimer ainsi.

Ma question est d'ordre purement mathématique.

Je voulais dire, si on se place dans le cas d'un gaz dont les variables sont P,V,n,T et régi par l'équation f(P,V,n,T)=0 où f est une fonction quelconque de R^4 dans R (disons C^2), comment par exemple définir clairement <math>\(\frac{\partial P}{\partial V} \big )_{n,T}\)</math>? J'ai dans l'idée qu'il faut utiliser le théorème des fonctions implicites (je ne le connais qu'en dimension 2 mais je suppose qu'il existe aussi en dimension 4). Bref je me demandais si un tel formalisme existait ou si c'est simplement de la masturbation intellectuelle de ma part.

Y'a pas besoin d'un marteau pour casser une noisette non plus... <math>\(\left.\frac{\partial P}{\partial V}\right|_{n,T}\)</math> se définit simplement comme étant une limite :

<math>\((\alpha^{-1}=)\left.\frac{\partial P}{\partial V}\right|_{n,T}=\lim_{\delta P\rightarrow 0^{+}}\ \frac{P(V+\delta V,n,T)-P(V,n,T)}{\delta V}\)</math>

(petite parenthèse : ici on a définit l'inverse de ce qu'on définit en physique habituellement : <math>\(\frac{1}{V}\left.\frac{\partial V}{\partial P}\right|_{n,T}\)</math> qui est le coefficient de dilatation isotherme à nombre de particules constantes <math>\(\alpha\)</math>).

Certes, mais là tu utilises le fait que P est une fonction (de V,n,T).
Si je te demande de me définir <math>\(\frac{\partial V}{\partial P} \big)_{n,T}\)</math> tu vas utiliser P comme une variable. Bref : P ne pouvant être à la fois une variable et une fonction, quel objet mathématique est adapté pour le représenter ?

(NB : c'est peut-être du chipotage, j'en sais rien)

En physique, ici, <math>\(P\)</math> représente en fait une fonction ou bien une variable, au choix...

...on évite simplement en physique de faire la distinction, imagine, une lettre pour chaque grandeur, qu'elle soit variable ou fonction, on ne s'en sortirait pas ... (et puis, y'a un nombre limité de lettres dans l'alphabet aussi)