bonjour,
je voudrais des informations concernant la reciproque de la proprieté suivante : " si un triangle ABC est inscrit dans un cercle de diametre BC, alors le triangle est rectangle en A" la réciproque est logiquement : " si dans une figure convee d'ae de symetrie BC, un triangle ABC est inscrit dans cette figure et est rectangle en tout point A sur ce cercle alors cette figure est un cercle" i a t'il un moyen simple pour demontrer cette reciproque ?

La formulation de la réciproque me semble un peu floue...
J'aurais plutôt dit : "Si un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit."
Pour la démontrer, il suffit de partir du fait que, dans un triangle rectangle, la médiane partant du sommet droit est de même longueur que la moitié de l'hypoténuse. Ainsi, les trois sommets du triangle sont à la même distance du milieu de l'hypoténuse et sont donc sur un cercle.

La réciproque que tu proposes n'est pas correcte, il faudrait en effet que pour tout point M de la figure, le triangle BMC soit rectangle.
Plaçons un repère dont l'origine O est le milieu de [BC] et dont (OC) est l'axe des abscisses. Notons r la distance OC.

Soit M(x,y) appartenant à la figure convexe. Le triangle BMC est rectangle par hypothèse.

<=> MC²+BM² = BC²
<=> (x-r)²+(y-0)² + (x-(-r))²+(y-0)² = (2r)²
<=> x²-2x+r² + y² + x²+2x+r² + y² = 4r²
<=> 2x²+ 2y² + 2r² = 4r²
<=> x² + y² = r²

Donc la figure considéré est bien un cercle

@grenadine: Il y a pour un théorème donné plusieurs réciproques (toutes a priori fausse). En effet, considère la proposition suivante :
p ^ q => r
Tu peux alors considérer les deux réciproques suivantes : r ^ p => q et r ^ q => p

EDIT : Les étapes du raisonnement sont des équivalences et non des implications. Sinon on pourrait seulement conclure que les points de la figure font partis de cercle de centre O et de rayon r.

Bonjour

Ce n'est pas que l'ensemble de points est convexe qu'il faudrait supposer (un cercle n'est pas convexe), mais connexe. Mais même avec l'hypothèse de connexité, l'énoncé de la réciproque n'est pas correct.

simbilou, tu montres que les points appartiennent à un cercle, mais pas que l'ensemble des points est un cercle entier, même si tu as raisonné par équivalence dans ce que tu as écrit. Ça pourrait être un arc de cercle.



Bon après-midi

Ah, je crois avoir compris mon erreur.
Avec mon calcul on s'assure qu'on est sur le cercle (et seulement sur le cercle!).
Avec l'hypothèse de connexité on est certain qu'il n'y a "pas de trou". Mais il faut rajouter l'hypothèse que la figure est fermée pour pouvoir conclure c'est bien ça ?

Cela dit même avec cette dernière hypothèse ce n'est pas évident de démontrer proprement le résultat, même si on le sens bien.
Merci Sulley, j'essayerais d'éviter de conclure trop vite à l'avenir (mais je ne promet rien ).

Gr3n@d1n3 a une réponse claire et juste.
J'aurais dit: " tout triangle rectangle est inscriptible dans un cercle de diamètre l'hypoténuse.
dém
Soit O le milieu de l'hypoténuse.
On sait que la médiane issue du sommet de l'angle droit égale la moitié de cette hypoténuse.
Alors, AO = BC/2 , or BC/2 = BO = CO
Puis, AO = BO = CO
Donc, ces trois points sont situés sur le cercle de centre O et de rayon R = AO = BO = CO

Effectivement blh, ce que Gr3n@d1n3 et toi citez est bien la réciproque du théorème énoncé par mecreant. La réciproque qu'il avait tenté d'écrire, ainsi que le titre du sujet, me laissaient penser qu'il cherchait plutôt la réciproque de l'énoncé :
Si <math>\(\mathcal{D}\)</math> est un cercle de diamètre <math>\([BC]\)</math> alors pour tout <math>\(A \in \mathcal{D}\)</math>, <math>\(ABC\)</math> est rectangle en <math>\(A\)</math>

Les deux théorèmes disent la même chose mais suivant la façon d'énoncer, dans le premier cas, c'est :
<math>\(ABC\)</math> inscrit dans le cercle <math>\(\mathcal{D}\)</math> de diamètre <math>\([BC]\)</math><math>\(\Longrightarrow\)</math><math>\(ABC\)</math> est rectangle en <math>\(A\)</math>
Et dans le second, c'est :
<math>\(\mathcal{D}\)</math> cercle de diamètre <math>\([BC]\)</math><math>\(\Longrightarrow\)</math> pour tout <math>\(A \in \mathcal{D}\)</math>, <math>\(ABC\)</math> est rectangle en <math>\(A\)</math>

Je me suis peut-être fourvoyé en extrapolant la demande de mecreant, j'ai vraiment pensé qu'il cherchait plutôt à savoir si on pouvait affirmer qu'une « figure » <math>\(\mathcal{D}\)</math> était un cercle si blablabla

Sinon, de rien simbilou
Pour te répondre, effectivement, je pense qu'il faut ajouter l'hypothèse que la « figure est fermée ». À mon avis, il faut supposer que la « figure » est une courbe de Jordan, ie, une courbe continue simple fermée.

Avec la seconde version du théorème, il faut ajouter dans les hypothèses, ...pour tout A du cercle différent de B et de C,car, si A est en B ou en C, on obtient un triangle "plat".

Dans la première aussi
Ou alors, pour l'énoncé des théorèmes, on se permet de parler de triangle rectangle pour un triangle <math>\(ABC\)</math> ayant des points confondus (triangle dégénéré), ce qui n'est pas un crime horrible dans la mesure où il vérifie l'égalité du théorème de Pythagore.

Non, dans le premier énoncé, les points A, B et C sont nécessairement distincts puisque l'on décrit un triangle le plus général possible, et non un triangle qui "n'existe pas ". On part du général pour arriver aux cas particuliers, s'ils existent.