Je vais finir par prendre l'habitude de poster un topic par jour ici.
Il y a quelques temps, alors que je m'éclatais à résoudre quelques problèmes sur projecteuler.net, je suis tombé sur le fameux problème du théorème pythagoricien.
En voici l'énoncé (de mémoire) :
Un triplet pythagoricien est un ensemble de trois nombres naturels <math>\(a<b<c\)</math> tels que <math>\(a^2 + b^2 = c^2\)</math>
Il existe un seul et unique triplet pythagoricien tel que <math>\(a+b+c=1000\)</math>.
Trouver le produit <math>\(abc\)</math>.
Bon, la question en elle-même (trouver le produit) ne présente aucun intérêt.
Il est même très simple de trouver la solution grâce à un algorithme, ce qui est le but du site. De ce côté aucun problème.
La question qui me turlupine en réalité est celle-ci : est-il possible de résoudre ce problème algébriquement ? Par là, j'entends une méthode moins bourrin qu'un algo qui va se contenter de tester toutes les possibilités.
De mon côté, j'ai instinctivement cherché du côté des systèmes (en l'occurrence trois équations à trois inconnues) mais le problème est qu'il manque la troisième équation. Je me suis basé sur un triangle rectangle, et j'ai pensé pouvoir déduire une relation trigonométrique entre ces trois inconnues. Seulement, on m'a dit que les carrés de la première équation rendaient le système non-linéaire, ce qui complique bien les choses (je ne sais même pas ce que cela signifie).
Après moult tentatives peu fructueuses (j'ai fini une paire de fois sur <math>\(0=0\)</math>, ce qui montre bien que je tourne en rond), je me suis résolu à poser la question à deux profs de maths de mon lycée et aucun n'est parvenu à le résoudre alors je commence à me demander si c'est réellement possible.
J'en tire deux autres question : si c'est possible, quelle est donc cette manière ? Sinon, quelle en est la preuve ?
Sur la page Wikipédia, dans la partie "Théorème fondamental", tu peux apprendre que tout triplet pythagoricien <math>\(x,y,z\)</math> peut s'écrire sous la forme <math>\(d(p^2-q^2),2dpq,d(p^2+q^2)\)</math> avec des conditions sur <math>\(d,p,q\)</math>. On peut démontrer ce théorème avec des connaissances de Terminale S Spé maths.
En sommant tu obtient <math>\(2dp^2+2dpq=1000\)</math> ou encore <math>\(dp(p+q)=500\)</math> (avec p+q impair).
Tu peux donc chercher à la main une solution.
PS : Tu as le problème 75 qui est pas mal aussi sur le même sujet.
Dans ton problême tu as une inéquation,une équation et une autre équation du second degré.
Si a < b < c donc a < 333 et c > 0 ( a² + b² = c² donc a et b ne peuvent être négatif car c devrait être positif mais la somme des carrés de 2 nombres négatif donnent un nombre négatif).
Donc au final tu as 0 < a < b > ou = 333 < ou = c < 1000.
Algébriquement parlant je ne crois pas que c'est possible tu peux essayer d'en mettre une dans l'autre exemple : a² = c² - b² donc a = racine(a²-b²).
Mais comme tu as a² + b² = c² c'est automatiquement des multiples de 3,4,5 qui tombent parfaitement (3² + 4² = 5²).
Mais je crois que ce n'est pas ré-solvable :
a + b + c = 1000
x80 : 240 + 320 + 400
x82 : 246 + 328 + 420
x83 : 249 + 332 + 475 + 996 donc : a² + b² + c² = 17225 et x84 c'est au-dessus
Modification du post précédent pour y ajouter la balise <math> :
(étrangement, la balise <citation> veut pas marcher...)
------------- Citation de thewebspy -------------
bon je me lance :
Dans ton problême tu as une inéquation,une équation et une autre équation du second degré.
Si <math>\(a < b < c\)</math> donc <math>\(a < 333\)</math> et <math>\(c > 0\)</math> ( <math>\(a^2 + b^2 = c^2\)</math> donc <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> ne peuvent être négatif car <math>\(c\)</math> devrait être positif mais la somme des carrés de 2 nombres négatif donnent un nombre négatif).
Donc au final tu as <math>\(0 < a < b \geqslant 333 \leqslant c < 1000\)</math>.
Algébriquement parlant je ne crois pas que c'est possible tu peux essayer d'en mettre une dans l'autre exemple : <math>\(a^2 = c^2 - b^2\)</math> donc <math>\(a = \sqrt{a^2 - b2}\)</math>.
Mais comme tu as <math>\(a^2 + b^2 = c^2\)</math> c'est automatiquement des multiples de 3,4,5 qui tombent parfaitement (<math>\(3^2 + 4^2 = 5^2\)</math>).
Mais je crois que ce n'est pas ré-solvable : <math>\(\begin{array}{c c} & a + b + c = 1000 \\x80 : & 240 + 320 + 400 \\x82 : & 246 + 328 + 420 \\x83 : & 249 + 332 + 475 + 996 \\\end{array}\)</math>
donc : <math>\(a^2 + b^2 + c^2 = 17225\)</math> et x84 c'est au-dessus
---------- Fin de citation ---------------
Et maintenant ma réaction à ça : Mon dieu thewebspy...
Qu'est qui nous empêche d'avoir un <math>\(c > 1000\)</math> ? rien. Donc raisonnement tombe à l'eau.
Je n'ai pas encore planché sur cet exercice, donc je me refuse de dire de bêtises à son sujet pour l'instant.
Et maintenant ma réaction à ça : Mon dieu thewebspy...
Qu'est qui nous empêche d'avoir un <math>\(c > 1000\)</math> ? rien. Donc raisonnement tombe à l'eau.
<math>\(a\)</math>, <math>\(b\)</math> et <math>\(c\)</math> sont des entiers naturels tels que <math>\(a + b + c = 1000\)</math>, donc il parait difficile d'avoir <math>\(c > 1000\)</math>...
J'ai raté cette condition dans l'énoncé. Mais thewebspy aussi, sinon il ne parlerait pas de nombre négatifs. J'avoue que je me suis basé dessus pour lancer ma remarque.
De toute façon on sait que la réponse est a=200, b=375, et c=425.
Le posteur veut savoir si on peut résoudre à la main, et ma technique marche (il suffit de décomposer en facteurs premiers 500).
De toute façon on sait que la réponse est a=200, b=375, et c=425.
Le posteur veut savoir si on peut résoudre à la main, et ma technique marche (il suffit de décomposer en facteurs premiers 500).
Certes, mais de façon générale la facilité d'une résolution manuelle est peut être à tester en ne connaissant ni la solution obtenue par ailleurs , ni le nombre de solutions pour a+b+c= 2k ( il ne peut y avoir de solution que si le second membre est pair comme le montre le rappel de tit_toinou dp(p+q)=k)
Mais, on trouve, par calcul algorithmique, que si le second membre est pair , il peut aussi n'y avoir aucune solution. Il peut a contrario y en avoir plusieurs ( jusqu'à 5 dans des tests faits entre 900 et 1000, ...savoir quel est le nombre maximal de solutions possibles est peut être une question ouverte?) Par ailleurs, le nombre ( ou l'absence) de solutions semblent varier "aléatoirement" en fonction de 2k ( il faudrait peut être creuser avec la formule ci-dessus pouy y voir une logique éventuelle selon la décomposition de k...avec un examen sommaire, je n'ai rien vu!)
Les amateurs peuvent donc tester la facilité d'utilisation manuelle du "théorème fondamental pour deux cas aux résultats trés différents ...ce qui ne saute pas immédiatement aux yeux:
2k=924 et 2k=932 par exemple...sans recherche algorithmique préalable, bien sûr)
Fayden : déjà souligné par cbasile. Mais comme je lui ai dit, celui à qui je faisais la remarque n'a pas vu cette condition de l'énoncé non plus puisqu'il raisonne avec des nombres négatifs aussi dans sa démonstration.
@nabucos : Bien sûr. C'est difficile dans le cas général...
Sinon j'ai déjà donné le lien, mais puisque tu parles du nombre de solutions, voilà l'énoncé du problème 75 :
Citation : Project Euler
It turns out that 12 cm is the smallest length of wire that can be bent to form an integer sided right angle triangle in exactly one way, but there are many more examples.
In contrast, some lengths of wire, like 20 cm, cannot be bent to form an integer sided right angle triangle, and other lengths allow more than one solution to be found; for example, using 120 cm it is possible to form exactly three different integer sided right angle triangles.
120 cm: (30,40,50), (20,48,52), (24,45,51)
Given that L is the length of the wire, for how many values of L 1,500,000 can exactly one integer sided right angle triangle be formed?
Triplet pythagoricien
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