Bonjour à tous,

Histoire de changer des jeux type "énigmes" que tout le monde connaît et "exercices d'olympiades" qui finissent par tourner toujours autour du même pot, je vous propose la distraction absurde suivante :
supposer vraie une propriété qui est fausse pour en déduire que 0=1.

Les avantages :

• On peut créer des énoncés à l'infini, on est sûr de toujours pouvoir y arriver, et en général il y a des millions de façon de faire
• Ca peut fournir des contre-exemples intéressants de certaines propriétés
• Par récurrence triviale, on montre donc que pour tout n entier, on a n=42, ce qui n'est pas négligeable

Je commence pour montrer l'exemple :

Citation : Proposition absurde

Toute fonction continue est dérivable

Chaque fois que vous avez "résolu une absurdité", vous pouvez en proposer un autre (dont vous n'êtes pas obligé de connaître la démonstration menant à 0=1 !).

Pour la suite, je propose donc de partir de la proposition suivante :

Citation : Proposition absurde

Il existe un triangle rectangle ne vérifiant pas l'égalité de Pythagore (l'hypothénuse au carré est égale à la somme des longueurs des deux autres côtés aux carré)

salut, je trouve que ce que tu demandes à démontrer est impossible.
en effet,
Montrons que tous les réels sont egaux :
pour cela, montrons d'abord que tous les elements de <math>\(\mathbb{Z}\)</math> sont egals à 0 :
soit <math>\(n \in \mathbb{Z}\)</math>
supposons <math>\(n > 0\)</math>
alors <math>\(n = \sum_{i=1}^n 1 = \sum_{i=1}^n 0 = 0\)</math>
supposons <math>\(n < 0\)</math>
alors <math>\(n = - (-n) = - (-0) = 0\)</math>
Soit maintenant <math>\(q \in \mathbb{Q}\)</math>
alors <math>\(\exists (m, n) \in (\mathbb{Z})^2\)</math> tel que <math>\(q = \frac{m}{n}\)</math> or <math>\(m = 0 = 1\)</math>et <math>\(n = 0 = 1 \Rightarrow q = \frac{1}{1} = 1 = 0\)</math>
Montrons maintenant que <math>\(\mathbb{R} = \mathbb{Q}\)</math>
Soit <math>\(p\)</math>un nombre premier alors <math>\(p = \sqrt{p^2}\)</math> or <math>\(p^2 \in \mathbb{N} \Rightarrow p^2 = 0 \Rightarrow p = 0\)</math>
or tous les irrationnels sont construits à partir de nombres de la forme <math>\(\sqrt{p}\)</math> qui sont tous égaux à 0 donc on peut déduire naturellement que tous les irrationnels sont égaux à 0 !
Finalement on a <math>\(\forall x \in \mathbb{R}, x = 0\)</math>
par suite, <math>\(\forall a, b, c \in \mathbb{R_+}, a^2 + b^2 = 0 = c = c^2\)</math>

Je trouve que l'idée du topic est particulièrement savoureuse.

Partir de quelque chose de faux pour arriver à quelque chose de faux n'a pas vraiment d'intérêt...
D'autant qu'avec ton exemple de triangle rectangle ne respectant pas l'identité de Pythagore, il devient interdit d'utiliser tout résultat se fondant lui-même sur l'identité de Pythagore (c'est à dire une très grande partie des math).

Citation : Caduchon

Partir de quelque chose de faux pour arriver à quelque chose de faux n'a pas vraiment d'intérêt...
D'autant qu'avec ton exemple de triangle rectangle ne respectant pas l'identité de Pythagore, il devient interdit d'utiliser tout résultat se fondant lui-même sur l'identité de Pythagore (c'est à dire une très grande partie des math).

Ce n'est pas le résultat qui est intéressant, mais les chemins que l'on peut employer pour y arriver ! Et effectivement, le résultat que je propose de "démontrer" est peut-être très dur... mais c'est forcément possible

@reza : tous les nombres irrationnels ne sont pas "construits à partir de nombres du type <math>\(\sqrt p\)</math>". Essaie avec pi ou e , tu vas galérer je pense

Le problème c'est qu'il existe une voie triviale et systématique pour le faire...


Lemme préliminaire:
Si <math>\(0 > 0\)</math> alors <math>\(1 = 0\)</math>.
Preuve:
Il existe un réel <math>\(a\)</math> différent de 0 tel que <math>\(0 < a < 0\)</math>. L'élément neutre pour la multiplication étant unique, <math>\(a\)</math> est inversible:
<math>\(0 < a\frac{1}{a} = 1 < 0\)</math>
Ainsi, nous pouvons en déduire que <math>\(0 \leq 1\)</math> et <math>\(1 \leq 0\)</math>, ce qui implique l'égalité <math>\(0 = 1\)</math>.


Considérons une collection finie de triangles rectangles <math>\(T\)</math> et notons <math>\(P_T\)</math> l'ensemble des triangles dans <math>\(T\)</math> ne respectant pas l'identité de Pythagore.
La proposition initiale nous apprend qu'un tel triangle existe, donc il est possible de choisir <math>\(T\)</math> tel que <math>\(\#P_T > 0\)</math>.

En utilisant uniquement des théorème précédant l'identité de Pythagore je peux prouver qu'un tel triangle n'existe pas (en redémontrant Pythagore justement, mais sans l'énoncer pour autant), ainsi, <math>\(\#P_T = 0\)</math>.

Nous en déduisons que <math>\(0 > 0\)</math> et par le lemme que <math>\(1 = 0\)</math>.



Ce raisonnement peut s'appliquer à la plupart des propriétés fausses.

Exercice amusant !

Malheureusement j'avais une très belle preuve commençant par "supposons que l'équation de Fermat admette une solution", mais le SdZ ne permet pas de post suffisamment long pour l'écrire

Salut,

Citation : Aladix

Exercice amusant !

Malheureusement j'avais une très belle preuve commençant par "supposons que l'équation de Fermat admette une solution", mais le SdZ ne permet pas de post suffisamment long pour l'écrire

Bizarre... ça me rapelle autre chose...

Sans rire, par contre, ce topic est inutile. Il est évident qu'en partant du faux on peut arriver à du faux. Par contre, ce n'est pas une démonstration, puisque la proposition absurde de départ est contradictoire avec la logique du raisonnement (qui elle n'est pas absurde).

Cela m'étonne de Sebsheep qui intervient toujours de manière intéressante sur ce forum de maths. Sauf exception...

Citation : @dri1

Il est évident qu'en partant du faux on peut arriver à du faux. Par contre, ce n'est pas une démonstration, puisque la proposition absurde de départ est contradictoire avec la logique du raisonnement (qui elle n'est pas absurde).

Remarquer qu'une seule hypothèse absurde implique que toute affirmation est démontrable n'est pas une trivialité vide de sens bien au contraire... Tournent autour de ceci beaucoup d'autres questions logiques et philosophiques.

Avant de s'attaquer à ce genre de problème, et de clamer haut et fort que c'est trivial, ridicule, idiot, inutile il faut déjà répondre à quelques questions : qu'est-ce qu'une démonstration, un raisonnement ? qu'est-ce qu'une hypothèse ? qu'est-ce que le faux, l'absurde, le contradictoire ?

La logique mathématique répond à ces questions, et c'est plutôt délicat.

Je pense que vous n'avez pas compris que l'objectif de sebsheep est juste de s'amuser en trouver les moyens les plus délirants d'arriver à du faux, en partant du faux.

Notons que pour obtenir 0=1 à la fin, il faut nécessairement partir de quelque chose d'absurde ... c'est l'objet même de ce type de raisonnement.

Laissons, pour une fois, tomber la philosophie et let's fun.

Bon alors marrons nous un coup.
En partant de :
<math>\(\exists\ a\in \mathbb{R} \text{ tel que } ln(0)=a \text{ et }e^0=1\)</math>

Soit, <math>\(e^a=0\)</math>.

Or, <math>\(\frac{\text{d}e^x}{\text{d}x}=e^x\)</math>.

Donc, en <math>\(a\)</math>, la fonction exponentielle ne varie pas, et comme la fonction exponentielle est continue, on a :
<math>\(\forall\ \epsilon \in \mathbb{R}, e^{a+\epsilon}=e^a=0\)</math>

Soit <math>\(e^0=1\text{ et }e^0=0\)</math>. Soit, <math>\(0=1\)</math>.

J'ai bon, ou il y a un truc de faux dans le raisonnement ?

Non il y a un soucis : dire que la dérivée d'une fonction est nulle en un point ne suffit pas pour dire qu'elle est constante "en ce point". Par exemple : la dérivée de x^2 s'annule en 0... pourtant x^2 n'est pas défini.

Au passage ton erreur pourrait d'ailleurs conduire à une preuve de 0=1 .

L'idée en fait part typiquement de là : j'ai eu un prof qui avait l'habitude, à partir d'une bêtise énoncée par un élève de montrer que 0=1.

Rhhaaahhh mince.
Bon, je cherche ça et je reviens. Partir de <math>\(e^a=0\)</math> est marrant, il faut que j'y arrive.

Tu n'es pas loin : <math>\(e^a=0\)</math> implique par propriété fonctionnelle de l'exponentielle que <math>\(\forall x\in \mathbb{R} \; e^{a+x}=e^x\times 0=0\)</math>. D'où le résultat en prenant <math>\(x=-a\)</math>.

En fin de compte, ce topic ne fait que réinventer le raisonnement par l'absurde...

Juste comme ça faut bac +5 en math pour comprendre ce que vous ecrivez ? y'aurai pas un cours sur les Z (ou 3 a l'envers)
ps: y aurai pas aussi un cours sur les indices ? (les expensant facile ... je connais bien mais les indices...)

Merci d’avance j'ai trop de mal a vous suivre !

<image>http://sciences.siteduzero.com/cgi-bin/mimetex.cgi?n%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%201%20%3D%20%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5En%200%20%3D%200</image>

Bac-6mois suffit.
Qu'est ce que tu ne comprend pas ? Ah oui, les <math>\(\sum _{n=a}^b\text[expression]\)</math> ? Ca, c'est le symbole de somme, ça représente la somme des termes de ce qu'il y a dans l'expression lorsque n prend les valeurs entières de a à b.

Exemple : <math>\(\sum _{n=1}^5 \frac{1}{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\)</math>


<math>\(\forall\)</math>, c'est le quantifieur universel, il se lit : pour tout.

<math>\(\exists\)</math>, c'est le quantifieur existentiel, il se lit : il existe.

<math>\(\mathbb{Z}\)</math>, c'est l'ensemble des entiers relatifs.

<math>\(\mathbb{R}\)</math>, l'ensemble des réels.

<math>\(\mathbb{Q}\)</math>, l'ensemble des rationnels (qui peuvent s'écrire sous la forme d'un quotient de deux entiers relatifs).

Des questions ?

Merci beaucoup, J'ai compris pas mal de truck et pour les indices ?
J'ai n'est pas compris le Z enfin pas entièrement !
Pourrai-tu expliquer ? <math>\(\sum _{n}^a \frac{a}{n}=\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{4}+... \frac{n}{a}\)</math>
C'est cela ?
Sauf que je sais pas comment on fais :
<math>\(\frac{a}{b}+ \frac {d}{c}\)</math>
Je sais mais il faudrait que b=c dans ce cas il faut faire <math>\(\frac{a+d}{c}\)</math> tout simplement !

@Caduchon 0<a<0 impossible
a plus petit que 0 et 0 plus petite que a pas possible sauf si : 0<=a<=0 dans ce cas a = 0, ou alors j'ai besoin vraiment de cours de math car je vois pas comment un nombre a pourrai être en même temps - que 0 et + que 0 sauf si a=0...

@maximleboss1:
Le but de ce topic est justement de partir d'un énoncé faux. A partir de là on peut montrer des tas de choses loufoques comme je l'ai fais.

Je pense sincèrement que ce sujet n'est pas à ta portée pour le moment, et risque juste de t'embrouiller sérieusement.

Je vous propose une devinette :
x+x= inf
x-x= inf
x²= inf
x<inf
x>inf
(x!=inf)
Quel est la valeur de x ?
Je pense que l'on pourra ce servir de x pour démontrer que
0=1.
ps:ce ci n'est pas une blague, cela est vrai !
La réponse :
Autre propriété de ce nombre(si ont peut l’appeler comme ça !):
NaN!=NaN C'est comme si je disais que un nombre n'est pas égale a lui-même, sauf que la c'est vrai.

Bonsoir, je propose une equation que j'avais vue, et qui ma troubler Elle est beaucoup plus simple que les votre x_x

<math>\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)</math>
Donc :

<math>\(\frac{(a+b)(a-b)}{a-b} = \frac{(a^2-b^2)}{a-b}\)</math>

<math>\((a+b) = \frac{(a^2-b^2)}{a-b}\)</math>
On considère aussi que :
<math>\(\frac{x}{x}=1\)</math>
Et que <math>\(a = b = 1\)</math>
<math>\((1+1) = \frac{(1^2-1^2)}{1-1}\)</math>

<math>\(2 = \frac{1-1}{1-1}\)</math>

<math>\(2 = 1\)</math>

Salut,

Citation : Blackline

<math>\(2 = \frac{1-1}{1-1}\)</math>

<math>\(2 = 1\)</math>

Dire <math>\(\frac{x}{x}=1\)</math> sans préciser avec <math>\(x \neq 0\)</math> c'est vraiment abuser non ?
Parce que si on admet la division par zéro, on peut vraiment faire n'importe quoi, et on recrée les maths depuis zéro pratiquement.

Je dirais que x/x = 1 car s'il on ne demande rien, et qu'on reçoit rien, alors on a recus ce qu'on voulait. M'enfin

Okay mais alors pour toi le point d'abscisse 0 sur la courbe <math>\(y = \frac{1}{x}\)</math> a pour ordonnée 1 ?
Ca me paraît difficile à concevoir.

Bon après, comme tu le dis, si on peut ignorer toutes les règles dès lors qu'elles nous gênent... Mais là ça devient vraiment une façon vraiment abusée de simplifier le problème intéressant posé par sebsheep.

Ce n'est que mon avis après !

J'ai vue ça sur une vidéo, c'est pas moi qui l'es fait ^^'

Je me demandais si ce topic allait résister à cette fameuse "preuve". Bon, en fait non...