Bonjour à tous.

Je cherche à démontrer que <math>\(\sum_{n=1}^{+\infty} \frac {1} {{x^{n}}} = \frac {1} {x-1}\)</math> pour x supérieur ou égal à 2.

J'ai "découvert" cette formule par hasard (pour m'occuper en cours), et il semble qu'elle fonctionne pour n < 10 (j'ai pas testé au delà).

J'aimerais savoir si cette formule est valable, et si possible me la démontrer, ou donner quelques pistes.

Je cherche aussi la formule pour n négatif : si quelqu'un la connait, je prend.

Je suppose que tu voulais dire "pour x < 10", et "je cherche la formule pour x négatif".

La démonstration est toute simple.
En gros, ça revient à montrer que
<math>\((x-1)\times\sum_{n=1}^{+\infty}{\dfrac{1}{x^n}=1\)</math>

En développant le premier terme, tu obtiens une différence de deux sommes, dont presque tous les termes s'annulent.

Tu as <math>\(\sum_{n=1}^N \left(\frac{1}{x}\right)^n = \frac{1}{x}\frac{1-\left(\frac{1}{x}\right)^N}{1-\frac{1}{x}}\)</math> pour <math>\(x\neq1\)</math> : c'est la somme des N premiers termes d'une suite géométrique de raison <math>\(\frac{1}{x}\)</math> et de premier terme <math>\(\frac{1}{x}\)</math>.
en faisant tendre N vers l'infini tu obtiens le résultat pour <math>\(x>1\)</math> (ie <math>\(0<\frac{1}{x}<1\)</math>) car dans ce cas <math>\(\left(\frac{1}{x}\right)^N\)</math> tend vers 0.

Comment tu as trouvé cette formule par hasard sans la démontrer ?

D'accord, j'ai compris.

Merci pour vos réponses.

LOIc -> je me suis rappelé la valeur particulière de cette formule pour x=2, que mon professeur de math de 4éme m'avait apprise. Puis j'ai essayé pour x=3, puis 4, puis 5, etc (qu'est-ce qu'on fait quand on s’ennuie en cours...). Et ça m'a a sauté au yeux, c'est tout : j'ai bien vu que ça donnait 1/(x+1).

Je post pour compléter les réponses déjà données.

Dans un cadre plus générale, le formule de calcul pour les sommes partielles de cette série s'obtient à partir de l'identité:

<math>\(\displaystyle a^m-b^m=(a-b)\sum_{n=0}^{m-1}a^nb^{m-1-n}\)</math>

Tu retrouves le calcul de Rushia en prenant <math>\(a=\dfrac{1}{x}\)</math>, <math>\(b=1\)</math> et <math>\(m=N+1\)</math> et en faisant bien attention au terme <math>\(n=0\)</math>.

Pour établir cette formule, il faut développer le membre de droite et décaler les indices dans les deux sommes obtenues pour faire apparaitre bon nombres de termes égaux dans les deux sommes qui vont s'annuler par différence.

Ensuite, tu parlais de "<math>\(n\)</math> négatif", en fait, la somme que tu obtiens, réécrite autrement, est celle-ci:

<math>\(\sum_{n=-\infty}^{-1} x^{n} = \frac {1} {x-1}\)</math> pour <math>\(x > 1\)</math>