J'écris ici, car j'ai besoin d'aide sur un problème de mathématiques de terminale sur les suites.
L'énoncé est le suivant :
Un biologiste étudie une culture bactériologique, qui contient 10 000 bactéries à l'instant 0. Chaque seconde, 20%des bactéries meurent naturellement et 1500 bactéries nouvelles sont injectées dans la culture. On note u(n) le nombre de bactéries au bout de n secondes.
Q1 : Quel est le nombre de bactéries présentes au bout de 1 seconde ? Au bout de 2 secondes?
Q2 : Programmer la suite u(n) à la calculatrice et observer les 30 premiers termes. Que peut-on dire de l'évolution des bactéries dans la culture?
Q3 : Un étudiant en biologie conjecture que le nombre de bactéries sera toujours supérieur à 7 500.
Mais seule son observation lui permet de l'affirmer et il ne sait pas comment le prouver. Il demande à une collègue mathématicienne une démonstration qui ne repose pas sur la seule observation des premiers termes. Aidez l'étudiant à rédiger cette démonstration
Je suis arrivé jusqu'à la question 3 sur laquelle je bloque :
Q1 : je définis la suite comme u(n+1) = 0,80xu(n) + 1500
u(1) = 9500
u(2) = 9100
Q2 : Après l'avoir programmé sur ma calculatrice je remarque que la suite est décroissante
Et c'est à la question 3 que je bloque, la suite "descends" en-dessous de 7500 et je ne comprends pas comment aider cet étudiant.
J'ai trouvé une réponse sur internet que je n'ai pas compris :
"On considère la suite (vn)(vn) définie par vn=un−7500vn=un−7500 vn+1=un+1−7500=0,8un+1500−7500=0,8un−6000=0,8(vn+7500)−6000=0,8vnvn+1=un+1−7500=0,8un+1500−7500=0,8un−6000=0,8(vn+7500)−6000=0,8vn La suite (vn)(vn) est donc géométrique de raison 0,8 et de premier terme v0=u0−7500=2500v0=u0−7500=2500 Donc vn=2500×0,8nvn=2500×0,8n et un=vn+7500=2500×0,8n+7500un=vn+7500=2500×0,8n+7500 Donc on a bien toujours un>7500 "
Si je remplace 10000 par P, 0.80 par d, et 1500 par a, voici ce que je génère par programmation: - u(1=(P*d+a) u(2=((P*d+a)*d+a) u(3=(((P*d+a)*d+a)*d+a) u(4=((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(5=(((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(6=((((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(7=(((((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(8=((((((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(9=(((((((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) u(10=((((((((((P*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a)*d+a) - Si tu fais l'expansion, tu obtiendras: P*d^n + un polynome Je pense que le polynome se réduira à: (a^n - d^n)/(a - d) Je te laisse continuer. Expérimentalement, je me suis rendu jusqu'à 1000 termes, et ça ne va pas en bas de 7500
- Edité par PierrotLeFou 8 septembre 2021 à 18:13:39
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Sauf si l'énoncé est faux, ton programme doit donner des valeurs qui sont supérieures à 7500. Mais est-ce que ça tend vers 7500 ? (Je soupçonne que oui mais je n'ai pas essayé.)
Si tu observes que les termes tendent vers 7500, l'astuce consiste ensuite à regarder les valeurs des Un-7500, qui sont les écarts par rapport à la limite. En regardant ces valeurs, du devrais pouvoir faire une conjecture pas trop difficile à démontrer (concernant la nature de la suite des Un-7500).
(Ah, c'est la solution que tu as trouvé : Vn est la suite des écarts à la limite Un - 7500).
(Pierrot : ici on est en présence d'une suite arithmético-géométrique. En France, en terminale, on ne voit pas la théorie générale des suites arithmético-géométriques. Dans les exercices, normalement on donne une suite auxilaire Vn = Un - quelque chose et on demande de démontrer que cette suite est géométrique. Dans cet exercice, c'est apparemment à l'élève de trouver la suite auxiliaire. Bref, je ne crois pas que ce soit une bonne idée de passer par des polynômes.)
J'avais fait mon test en Python en arithmétique flottante. Je l'ai refait en C jusqu'à 100000 en arithmétique entière et flottante (double). Dans les deux cas, le dernier terme est bien 7500. On ne voit pas les polynomes en terminale? J'avais la flemme pour ça, je n'ai pas fait l'expansion moi-même ... Qui veut m'écrire un analyseur d'expressions algébriques?
J'ai refait le test en Python pour les 100 premiers termes. Voici les trois derniers résultats: [7500.00000079572, 7500.000000636576, 7500.000000509262] On voit bien qu'il y a convergeance.
- Edité par PierrotLeFou 8 septembre 2021 à 19:37:03
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
En terminale, on ne voit pas les formules de ce genre : (a^n - d^n)/(a - d) (Par contre, si ça n'a pas changé, c'est vu dès la début de la première année de fac ou de prépa.)
Ma paresse m'a servi ... J'ai demandé à Python de faire le travail pour moi. Voici ce que donne le terme U(10): P*d^10 + a*d^9 + a*d^8 + a*d^7 + a*d^6 + a*d^5 + a*d^4 + a*d^3 + a*d^2 + a*d^1 + a*d^0 Si j'enlève le premier terme et que je sort la variable a (qui vaut 1500) J'ai un polynome des puissances consécutives de d (0.80) Cela se simplifie comme suit: (1 - d^10) / (1 - d) Si on fait tendre le nombre de termes vers l'infini: + le premier terme devient négligeable + le second terme se ramène à a*1/(1-d) En pratique: >>> 1500*(1/(1-0.8)) 7500.000000000001
Merci beaucoup de m'aider, au final j'ai préféré trouver une solution que je comprenais en expliquant qu'étant donné que 20% de 7500 était égal à 1500, que le nombre de bactéries se stabiliserai au seuil des 7500 bactéries.
Car je ne comprends pas pourquoi on fait V(n) = U(n) - 7500 (j'ai compris le reste du raisonnement mais cette ligne reste un mystère pour moi)
Car je ne comprends pas pourquoi on fait V(n) = U(n) - 7500 (j'ai compris le reste du raisonnement mais cette ligne reste un mystère pour moi)
Cette ligne est une définition : on décide de définir une suite auxiliaire (V(n)) en posant V(n) = U(n). Ce que tu ne comprends pas, c'est pourquoi on définit cette suite-là et pas une autre ? C'est parce qu'on a constaté, grâce au programme de la question précédente, que la suite (U(n)) tend vers 7500.
Mais en relisant l'énoncé je vois qu'on ne demandait pas de démontrer que la suite tend vers 7500, juste que ses termes sont toujours > 7500. Du coup ta méthode me semble incorrecte : tu as démontré que s'il existe une limite, c'est 7500. Ce n'est pas la question.
Est-ce que tu as vu la notion de démonstration par récurrence ?
L'énonc dit que la population initiale est de 10000 à chaque seconde, 20% de la population meure, Donc il en reste 80% et on ajoute ensuite 1500 bactéries. Si P est la population initiale et P' est la population à un temps donné, la population au temps suivant est: P' = P*0.8 + 1500 Est-ce correct? Si c'est le cas, mon premier post donne l'expression résultante pour chaque instant (OK, j'ai oublié une ')' dans l'expression) Dans mon dernier post, je donne l'expansion: P(n) = P*0.80^n + 1500 * (1 - 0.80^n) / (1 - 0.80) Le premier terme diminue avec n et le deuxième augmente jusqu'à 1/(1-0.8) Est-ce que le premier terme diminue plus rapidement que le second augmente? Tout ce que je sais est qu'à la limite, j'aurai: P(infini) = 1500 * 1 / (1-0.8), donc 1500 * 5 = 7500 @michelbillaud: tu sais programmer? Écris-le dans le langage que tu veux, tu verras que c'est asymptotiquement décroissant.
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Écrire un programme, c'est amusant, ça permet d'observer que la suite semble décroître vers 7500, mais ça ne le prouve pas.
Dans le message d'avant j'ai prouvé que si on part d'une valeur > 7500, tous les termes de la suite étaient au dessus de cette valeur.
Maintenant si on veut prouver que ça tend vers 7500, il y encore un peu de boulot. Par exemple passer par v_n = u_n -7500 et montrer que v_n tend vers 0. On suppose que l'OP a deja vu quelques exemples de ce type de choses, c'est l'occasion qu'il s'en serve.
Complément : v_n, ça donne l'écart entre u_n et 7500, dont on présume que c'est la limite. Si n_n tend vers 0, bingo.
- Edité par michelbillaud 9 septembre 2021 à 23:07:22
@michelbillaud: (pas évident de traiter des équations à l'aveuglette ...) Je suppose comme auparavant que P=10000, d=0.80, a=1500 Es-tu d'accord avec l'équation du terme U(n)? Je met des { } comme super parenthèses. Je met tout sur le même dénominateur. U(n) = P*d^n + a*(1-d^n) / (1-d) = {P*d^n - P*d^(n+1) + a*(1-d^n)} / (1-d) Puisque le dénominateur (1-d) est indépendant de n, je n'en tiens pas compte pour le moment: U(n) - U(n+1) = P*d^n - P*d^(n+1) + a-a*d^n - {P*d^(n+1) - P*d^(n+2) + a-a*d^(n+1)} U(n) - U(n+1) = P*d^n - P*d^(n+1) + a - a*d^n - P*d^(n+1) + P*d^(n+2) - a + a*d^(n+1) U(n) - U(n+1) = P*d^n - 2*P*d^(n+1) + P*d^(n+2) + a*d^(n+1)- a*d^n U(n) - U(n+1) = P*d^n*(1 - 2*d + d^2) + a*d^n*(d-1) U(n) - U(n+1) = P*d^n*(1-d)*(1-d) + a*d^n*(d-1) J'enlève le (1-d) qui se simplifie avec le dénominateur que j'ai enlevé au début: U(n) - U(n+1) = d^n*{P*(1-d) - a} Pour que U(n) > U(n+1), il faut: P*(1-d) > a 10000*(1-0.80) > 1500 Si je ne me suis pas trompé ... je pense avoir montré que c'est monotone décroissant. Et j'ai montré plus haut que la limite quand n tend vers l'infini est 7500
Le Tout est souvent plus grand que la somme de ses parties.
Pour montrer que c'est monotone, on regarde la fonction f
f(x) = 0.8 x + 1500
Qui fait passer d'un terme au suivant
u_n = f ( u_{n-1} )
On a f(x) < x, c'est à dire 0.2 x - 1500 > 0' quand x > 7500.
La suite est donc décroissante (strictement) quand son premier terme est plus grand que 7500.
---
Maintenant, décroissante et minorée par 7500, ça suffit pas pour dire que 7500 est la limite.
Pour ça il faut regarder comment on s'approche de 7500. Et qu'on peut s'approcher aussi près qu'on veut.
Pour ça on met en rapport x-7500 et f(x)-7500, les "écarts" d'un terme et de son successeur par rapport à 7500.
Pas compliqué f(x) - 7500 = 0.8 x + 1500 - 7500 = 0.8 x - 6000 = 0,8 (x - 7500)
L'écart est multiplié par 0.8. Les termes de la suite se rapprochent exponentiellement de 7500.
--- si on tient à sortir le proverbial canon pour décaniller le drosophile, on voit de suite que f(a)-f(b) = 0.8(a-b), donc c'est contractant (0,8 < 1) et si on itere f à partir d'une valeur quelconque, ça converge vers le point fixe, unique solution de f(x)=x.
En terminale, on utilise effectivement le théorème disant que toute suite décroissante minorée est convergente pour prouver l'existence d'une limite. C'est en général le plus difficile : il faut prouver que la suite est décroissante (plutôt simple avec ce genre de suite) puis qu'elle est minorée (en général on donne aux élèves le minorant, comme c'est le cas dans cet exercice, mais on aurait pu le déterminer avec la calculatrice). La minoration se prouve normalement par récurrence.
Une fois qu'on a démontré l'existence d'une limite, on la calcule en disant que U(n+1) et U(n) tendent vers cette limite l, ce qui mène à l'équation l = 0,80 l + 1500.
C'est plus simple que la méthode de Pierrot avec les polynômes, qui n'est pas attendue par un élève de terminale en France (mais je m'aperçois que je n'ai aucune preuve que DeleGwen est en France, c'est une conjecture...)
@michelbillaud et @robun: je suis d'une autre génération et sur un autre continent, je ne sais donc pas ce qu'on apprend en terminale. J'ai appris les règles sur les polynomes que j'ai utilisées avant l'université. Démontrer que U(n) tend vers 7500 est la même chose que démontrer que U(n)-7500 tend vers 0 Mon calcul est certes compliqué, mais j'arrive à connaître la différence entre deux termes: U(n) - U(n+1) = d^n * (P*(1-d) - a) ou P*(1-d)-a est constant Si j'ai 0 < d < 1, j'aurai d^(n+1) < d^n. et d^(n+2) < d^(n+1) Donc l'écart entre les deux termes tend à diminuer. On n'apprend sans doute pas les limites en terminale, mais la suite tend bien vers 7500 Petite remarque, si la population de départ est 7500, la suite est constante: 7500*0.8 + 1500 = 6000 + 1500 = 7500 Si la valeur de départ est inférieure à 7500, la suite sera croissante et convergeante (toujours vers 7500) DeleGwen ne s'est pas manifesté. On ne sait pas si les réponses l'ont satisfait et ce qu'il connait.
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Désolé de revenir sur le sujet si tard (j'avoue l'avoir oublié) mais effectivement nous étions en train de voir le raisonnement par récurrence et avons résolu le sujet à travers l'inégalité :
P(k) = 0,80*u(k)+1500>= 7500
Puis avons continué l'égalité pour atteindre
P(k+1) >= 7500
Encore désolé de ne pas avoir répondu à temps et merci de m'avoir aidé
Une suite décroissante toujours supérieure à 7500
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