Bonsoir, j'ai une petite sèche sur un exercice (GEI,2001) qui me semble assez simple

Voici l'énnoncé :



<math>\(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}) + arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8}) = arctan(1)\)</math>

Ce qui me pose problème c'est que que je n'arrive pas à appliquer la formule <math>\(tan (a+b)= \frac{tan(a)+tan(b)}{1-tan(a)*tan(b)}\)</math>

J'apprécirai juste une petite mise sur la voie car c'est avec plaisir que je calculerai le reste

Merci,
Bonne soirée.

Et pourtant ça marche bien : <math>\(\tan(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}) + arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8})) = \frac{\tan(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}))+\tan(arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8}))}{1-\tan(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}))\tan(arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8}))}\)</math>
Ce qui donne <math>\(\tan(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}) + arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8}))=\frac{\frac{1/3+1/5}{1-1/15}+\frac{1/7+1/8}{1-1/56}}{1-\frac{1/3+1/5}{1-1/15}\frac{1/7+1/8}{1-1/56}}=\frac{\frac{4}{7}+\frac{3}{11}}{1-\frac{4}{7}\frac{3}{11}}=\frac{44+21}{77-12}=\frac{65}{65}=1\)</math>
D'où <math>\(arctan(\frac{1}{3}) + arctan(\frac{1}{5}) + arctan(\frac{1}{7}) + arctan(\frac{1}{8})=arctan(1)\)</math>
Mais j'imagine qu'il doit y avoir moins lourd comme calcul.

Bonsoir,


Ce doit être comme cela que ça marche.

Mais attention, cela ne prouve pas la formule.

On note <math>\(A\)</math> le membre de gauche de l'égalité à montrer, et <math>\(B\)</math> le membre de droite.
On vient de montrer que <math>\(\tan (A) = \tan (B)\)</math>, ce qui n'implique pas que <math>\(A = B\)</math>. En effet : <math>\(\tan (0) = 0 = \tan (\pi)\)</math>, pourtant <math>\(0 \neq \pi\)</math>.

Il faut montrer que, dans notre cas, on a bien <math>\(A = B \Leftrightarrow \tan (A) = \tan (B)\)</math>. Cela se montre en regardant dans quel intervalle sont <math>\(A\)</math> et <math>\(B\)</math>.

Oui, bien sur, je lui montrais juste qu'il pouvait appliquer la formule qu'il proposait et aboutir, je ne lui faisais pas tout le travail.

Bonsoir,

J'ai pigé mon problème, overdose de math je vais supposer

En effet, j'obtiens la même chose que toi Rushia

J'aurais du encore y réfléchir une fois avant de poser la question

Mais soit je vous remercie pour votre aide

Et merci Thel je n'avais pas pensé à rajouter ce que tu m'a dit dans mes notes !

Bonne soirée