Salut !

Récemment, je redémontrait la formule du volume d'un cône avec une intégrale de 0 a h de Pi*(r/h*x)²dx

Puis je regardais celle d'une pyramide.

Puis je me suis souvenu que tout volume de base S, et de hauteur h, et pointu avait comme volume S*h/3

Bien sur, le 1/3 vient d'un x² qui a comme primitive x**3/3, mais je me demandais si quelqu'un avait la formule générale qui permet de démontrer que tout volume pointu a cette forme la ? 

Merci !

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Edité par Fvirtman 7 février 2019 à 23:25:19

Fvirtman a écrit:

Puis je me suis souvenu que tout volume de base S, et de hauteur h, et pointu avait comme volume S*h/3

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Edité par Fvirtman il y a environ 11 heures

Qu'entends tu par tout volume? ceci n'est vrai que si la surface latérale est une surface réglée  dont les génératrices s'appuient sur le contour de la base et qui se coupent toutes en un même point qui est le sommet. 

Dans ce cas, les sections dans des plans perpendiculaires à la hauteur prise comme axe Oz sont homothétiques.  A une distance z quelconque, le rapport d'homothétie est \(\frac{z}{h}\) et la surface dans la section est alors \(S\frac{z^2}{h^2}\)

D'où le volume \(\int_0^h S\frac{z^2}{h^2}dz =\frac{S}{h^2}(\frac{z^3}{3})_0^h=\frac{Sh}{3}\)

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Edité par Sennacherib 8 février 2019 à 10:53:21

Salut,

En effet, oui je vois le cas des surface réglées.

Je comprends aussi le rapport d'homothétie z/h, qui ressemble fortement au (R/h) * x dont je parlais pour le cône.

Par contre, encore un petit truc qui m'échappe, comment fais tu pour arriver a z²/h² ?

Quand tu as 2 formes semblables (exemple, 2 triangles, avec les mêmes proportions, les mêmes angles, ou bien 2 ellipses, avec la même excentricité), si le rapport des longueurs grand-triangle/petit-triangle est k, alors le rapport des surfaces est k².

D'accord, je comprends. Merci pour ces explications