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J'ai tout compris !

Mis à jour le 13/03/2024

Estimez une moyenne et une variance

Cas de la consommation d'essence

Pour estimer la consommation moyenne (théorique) dans le second exemple, $\(\mu\)$ , le choix de la  moyenne empirique $\(\overline{x}\)$ paraît là encore naturel.

On obtient comme "estimateur" cette consommation moyenne :

$\[\overline{x}=\frac{1}{128}\sum_{i=1}^{128} x_{i}\simeq 31.45\]$

Pour estimer cette fois la variance de cette consommation, $\(\sigma^2\)$, on choisit de manière analogue la variance... empirique ! On constate ici que les notions vues en statistiques descriptives ont tout leur intérêt dans le domaine de l'inférentiel.

On peut donc considérer comme "estimateur" cette variance de consommation :

$\[v=\frac{1}{128}\sum_{i=1}^{128} \left( x_{i}-\overline{x}\right)^{2}\simeq 4.63\]$

On considère souvent la version dite "non biaisée" de cette variance (on divise par 127 au lieu de 128) :

$\[s^{\prime 2}=\frac{1}{127}\sum_{i=1}^{128} \left( x_{i}-\overline{x}\right)^{2}\simeq 4.66\]$

Cette version est souvent celle par défaut dans les logiciels statistiques, on rediscutera plus tard du choix privilégié de  $\(S^{\prime 2}\)$  par rapport à $\(V\)$.

Cas général

Dans le cas où un dispose d'un échantillon i.i.d dont la loi admet comme moyenne théorique (il s'agit de l'espérance mathématique !) $\(\mu\)$ et comme variance $\(\sigma^{2}\)$ , on considère comme estimateur de $\(\mu\)$ :

$\[\widehat{\mu}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_{i}\]$

et comme estimateurs de $\(\sigma^{2}\)$ :

$\[\widehat{\sigma}_{\text{non biaisé}}^{2}=S^{\prime 2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n \left( X_{i}-\overline{X}\right) ^{2}\]$

ou :

$\[\widehat{\sigma}_{\text{biaisé}}^{2}=V=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_{i}-\overline{X}\right)^{2}\]$

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite