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Mis à jour le 30/03/2020

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Mathématiquement

 Un estimateur est exhaustif si la loi de l'échantillon (X1,,Xn) conditionnellement à l'estimateur ˆθ est indépendante du paramètre θ .

Un estimateur ˆθ de θ est consistant (convergeant) si :

ˆθPθ

Le biais de l'estimateur ˆθ de θ vaut :

Biais(ˆθ,θ)=E(ˆθ)θ

Le risque quadratique d'un estimateur vaut :

R(ˆθ,θ)=E[(ˆθθ)2]

Retour au taux de guérison

La loi forte des grands nombres (échantillon i.i.d de loi B(p) ) assure que :

¯Xp.sE(X1)=p

La convergence presque sûre entraînant la convergence en probabilité, l'estimateur est donc consistant.

L'estimateur est sans biais, en effet :

E(¯X)=1nni=1E(Xi)=p

L'estimateur étant sans biais, le risque quadratique est égal à la variance :

R(¯X,p)=Var(¯X)=1n2ni=1Var(Xi)

car les variables Xi sont indépendantes, donc non corrélées, d'où :

R(¯X,p)=p(1p)n

Le risque quadratique fournit un indicateur de la dispersion de ¯X autour de la valeur à estimer p . Certes on ne connaît pas sa valeur qui dépend de p , mais on peut l'estimer par :

¯X(1¯X)n

On constate que le risque quadratique décroît logiquement quand la taille de l'échantillon augmente.

Notons que ces résultats sont valables quelle que soit la loi, pas seulement pour une loi N(μ,σ2).

Retour à la consommation d'essence

La loi forte des grands nombres (et un théorème, celui de Slutsky) assure que les estimateurs ¯X , V et S2 sont consistants :

¯Xp.sμ
Vp.sσ2
S2p.sσ2

 ¯X est un estimateur sans biais de μ :

E(¯X)=μ

V est un estimateur biaisé, mais asymptotiquement sans biais, de σ2 :

E(V)=σ21nσ2n+σ2

Si V est un estimateur biaisé (mais asymptotiquement sans biais) de σ2 , S2 est quant à elle sans biais :

E(S2)=σ2

C'est pour cela qu'on retrouve usuellement dans les logiciels la version dite sans biais (unbiased) S2 .

Exemple de certificat de réussite
Exemple de certificat de réussite