Sans hypothèse supplémentaire, on ne peut pas déterminer d'intervalles de confiance sur les paramètres ou tester leur significativité.
Cela devient possible si l'on ajoute une hypothèse sur la loi de l'erreur , et donc sur celle de la variable à expliquer . Le modèle linéaire gaussien multiple considère la normalité de l'erreur.
Dans le modèle linéaire gaussien multiple, on considère en plus des hypothèses formulées dans le cadre du modèle linéaire multiple :
On en déduit donc que est un échantillon i.i.d de loi .
Testez le modèle
Pour tester la significativité du modèle, nous avons 2 niveaux :
Un test global, obtenu grâce à une statistique de Fisher. En pratique, l'hypothèse Ho de ce test est souvent rejetée, le modèle est donc souvent significatif globalement.
Un test de significativité sur chacune des variables explicatives prises une à une. Dans ce cas, il s'agit d'un test de Student, tout comme en régression linéaire simple. Ici, tester l'un des paramètres a un réel sens : si une variable n'est pas significative, il faut la retirer du modèle. Si l'on ne la retire pas, il est possible que l'erreur de prévision du modèle soit plus élevée.
Testez la significativité globale du modèle
Dans le cas de la régression avec constante, on teste :
La statistique de test utilisée est :
On peut montrer que sous :
On décide du rejet de au niveau de test si .
On présente usuellement le test de significativité globale sous la forme du tableau d'analyse de la variance, avec les notations et .
Voici le tableau d'analyse de la variance :
Source |
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| -valeur |
E |
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| CME |
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R |
| CMR |
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| |
T |
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1.5pt1-3 |
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Testez la significativité d'un des paramètres
On teste :
pour
La statistique de test utilisée est :
où désigne le -ième terme diagonal de la matrice .
On peut montrer que sous :
On décide du rejet de au niveau de test si .
En pratique, dire que l'on rejette cette hypothèse revient à conserver la variable comme explicative.
Le test est acquis, félicitations ! On peut maintenant analyser nos résultats.