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Mis à jour le 14/02/2020

Testez le modèle linéaire gaussien multiple

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Sans hypothèse supplémentaire, on ne peut pas déterminer d'intervalles de confiance sur les paramètres β1,,βp ou tester leur significativité.

Cela devient possible si l'on ajoute une hypothèse sur la loi de l'erreur ε , et donc sur celle de la variable à expliquer Y . Le modèle linéaire gaussien multiple considère la normalité de l'erreur.

Dans le modèle linéaire gaussien multiple, on considère en plus des hypothèses formulées dans le cadre du modèle linéaire multiple : 

εN(0,σ2)

On en déduit donc que (εi)i{1,,n} est un échantillon i.i.d de loi N(0,σ2) .

Testez le modèle

Pour tester la significativité du modèle, nous avons 2 niveaux :

  • Un test global, obtenu grâce à une statistique de Fisher. En pratique, l'hypothèse Ho de ce test est souvent rejetée, le modèle est donc souvent significatif globalement.

  • Un test de significativité sur chacune des variables explicatives prises une à une. Dans ce cas, il s'agit d'un test de Student, tout comme en régression linéaire simple. Ici, tester l'un des paramètres a un réel sens : si une variable n'est pas significative, il faut la retirer du modèle. Si l'on ne la retire pas, il est possible que l'erreur de prévision du modèle soit plus élevée.

Testez la significativité globale du modèle

Dans le cas de la régression avec constante, on teste :

{H0:β2==βp=0H1:j{2,,p}/βj0

La statistique de test utilisée est :

F=npp1SCESCR=npp1R21R2

On peut montrer que sous H0

FF(p1,np)

On décide du rejet de H0 au niveau de test α si f>f(p1,np),1α .

On présente usuellement le test de significativité globale sous la forme du tableau d'analyse de la variance, avec les notations CME=SCEp1 et CMR=SCRnp .

Voici le tableau d'analyse de la variance :

Source

 ddl

  SC

 CM

 F

 p -valeur

E

 p1

 SCE

CME

 CMECMR

  P(F(p1,np)>f)

R

 np

SCR

CMR

 

 

T

 n1

 SCT

 

 

 

1.5pt1-3

 

 

 

 

 

Testez la significativité d'un des paramètres

On teste :

{H0:βj=0H1:βj0

pour j{1,,p}

La statistique de test utilisée est :

Tj=^βjˆσ(XX)1jj

(XX)1jj désigne le j -ième terme diagonal de la matrice (XX)1 .

On peut montrer que sous H0

TT(np)

On décide du rejet de H0 au niveau de test α si t>tnp,1α .

En pratique, dire que l'on rejette cette hypothèse H0 revient à conserver la variable Xj comme explicative.

Le test est acquis, félicitations ! On peut maintenant analyser nos résultats.

Exemple de certificat de réussite
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