Mathématiquement
Un estimateur est exhaustif si la loi de l'échantillon (X1,…,Xn) conditionnellement à l'estimateur ˆθ est indépendante du paramètre θ .
Un estimateur ˆθ de θ est consistant (convergeant) si :
Le biais de l'estimateur ˆθ de θ vaut :
Le risque quadratique d'un estimateur vaut :
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La loi forte des grands nombres (échantillon i.i.d de loi B(p) ) assure que :
La convergence presque sûre entraînant la convergence en probabilité, l'estimateur est donc consistant.
L'estimateur est sans biais, en effet :
L'estimateur étant sans biais, le risque quadratique est égal à la variance :
car les variables Xi sont indépendantes, donc non corrélées, d'où :
Le risque quadratique fournit un indicateur de la dispersion de ¯X autour de la valeur à estimer p . Certes on ne connaît pas sa valeur qui dépend de p , mais on peut l'estimer par :
On constate que le risque quadratique décroît logiquement quand la taille de l'échantillon augmente.
Notons que ces résultats sont valables quelle que soit la loi, pas seulement pour une loi N(μ,σ2).
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La loi forte des grands nombres (et un théorème, celui de Slutsky) assure que les estimateurs ¯X , V et S′2 sont consistants :
¯X est un estimateur sans biais de μ :
V est un estimateur biaisé, mais asymptotiquement sans biais, de σ2 :
Si V est un estimateur biaisé (mais asymptotiquement sans biais) de σ2 , S′2 est quant à elle sans biais :
C'est pour cela qu'on retrouve usuellement dans les logiciels la version dite sans biais (unbiased) S′2 .
