Bonjour

J'ai 2 petites questions à vous poser :


1) Soit la fonction <math>\(f\)</math> définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> par : <math>\(f(x) = |1-x^2|\)</math>
Déterminer en utilisant les formules sa fonction dérivée sur un ensemble que l'on précisera.

Mais comment je fais avec la valeur absolue (jamais fait avec...) ?



2) Soit la fonction <math>\(f\)</math> définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> par : <math>\(f(x) = \sqrt{1-x}\)</math>
Déterminer en utilisant le taux d'accroissement sa fonction dérivée sur un ensemble que l'on précisera.

Soit, avec les formules je comprend, mais comment utiliser le taux d'accroissement <math>\(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)</math> pour calculer une fonction dérivée ??

Ce que j'ai déjà fait (merci aux premières réponses) :

<math>\(f_{1}(x) = |1-x^2| = \begin{cases}-x^2+1, & \mathrm{si}~ -\!\!1 \leq x \leq 1 \\x^2-1, & \mathrm{sinon}\end{cases}\)</math>

D'où :

<math>\(\mathrm{si}~ -\!\!1 \leq x \leq 1 :\)</math>
<math>\(f'_{1}(x) = -2x\)</math>

<math>\(\mathrm{sinon}\)</math>
<math>\(f'_{1}(x) = 2x\)</math>

Et :

Merci

Salut,
pour la première, utilises les fonctions composées.
Pour la seconde, on a par définition :
<math>\(f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)</math>
Lorsque la limite existe bien sûr.

Pour la valeur absolue, tu peux utiliser le fait que :

<math>\(|x| = \begin{cases}x, & \mathrm{si}~x \ge 0 \\-x, & \mathrm{si}~x < 0\end{cases}\)</math>

Autrement dit :
<math>\(f(x) = |1-x^2| = \begin{cases}1-x^2, & \mathrm{si}~ -\!\!1 \leq x \leq 1 \\x^2-1, & \mathrm{sinon}\end{cases}\)</math>

@@dri1 Cette formule me sert à calculer un nombre dérivé et non une fonction.

@Me Capello Merci, ça me paraît être une bonne piste que je vais étudier sans plus attendre

Citation

Mais comment je fais avec la valeur absolue (jamais fait avec...) ?

tu as certainement étudié en cours la derivabilité de <math>\(x \to |x|\)</math>, après comme ta dit dri1 utilise la composition des fonctions !

J'ai édité mon premier post, reste cette question bizarre avec le taux d'accroissement...

en revenant à la définition de la derivabilité
si <math>\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)</math> existe et elle est finie, alors <math>\(f\)</math> est dérivable en <math>\(x_0\)</math> et son nombre derivé en ce point est justement cette limite
en effectuant un petit changement de variable <math>\(h = x - x_0\)</math>
alors en fonction de h la limite devient
<math>\(\lim_{h \to 0} \frac{f(h+x_0) - f(x_0)}{h}\)</math>
voilà tu disposes de 2 mèthodes (qui sont équivalentes) pour répondre à ta question

pour 1) tu n'as toujours pas répondu à la question, tu as trouvé peut-être la derivé mais pas comme la question te l'a demandé .

J'aime bien quand je poste dans le vide.

1)composition de fonction : <math>\(f=u\circ v\)</math> avec
<math>\(u(x)=|x|\)</math> et <math>\(v(x)=1-x^2\)</math>.

2)ben, déjà dit par Zera et moi.

Je ne vois pas comment être plus clair sans résoudre l'exo.

EDIT : "Cette formule me sert à calculer un nombre dérivé et non une formule."
On ne te demandes pas une formule, mais d'exprimer le nombre dérivé en <math>\(x\)</math>... Donc calculer le nombre dérivé en <math>\(x\)</math> me semble être une bonne piste. M'enfin, c'est toi qui voit.

Déterminer en utilisant le taux d'accroissement sa fonction dérivée sur un ensemble que l'on précisera.

Avec cette formule je trouve x et non une fonction <math>\(f'()\)</math> donc non, je ne vois pas où vous voulez en venir (dans ce cas éclairez-moi).

Pour la question 1, n'oublie pas que la dérivée de |x| en 0 n'existe pas…


Pour la question 2, tu dois en fait calculer la limite du taux d'accroissement pour h → 0 :

<math>\(f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt{1-(x+h)} - \sqrt{1-x}}{h} = \ldots\)</math>

(Je te laisse faire le calcul, avec cet indice : (A + B) · (A – B) = A² – B². )

Oui je connais, d'ailleurs je vais le continuer et poser les question après (voir 1er post).

Pour préciser l'idée, on te demande en cherchant f'(x) de trouver l'expression du nombre dérivé en x en fonction de x. Donc en calculant cette limite du taux d'accroissement pour un x quelconque (c'est à dire non choisi, tu travailles pour n'importe quel x), tu as bien f'(x). D'ailleurs, si tu regardes bien, tu vois que le calcul que l'on te conseille commence par f'(x)=... Donc on doit bien se trouver avec une fonction de x, en l'occurence la dérivée de f en x.

Citation : @dri1

Pour préciser l'idée, on te demande en cherchant f'(x) de trouver l'expression du nombre dérivé en x en fonction de x. Donc en calculant cette limite du taux d'accroissement pour un x quelconque (c'est à dire non choisi, tu travailles pour n'importe quel x), tu as bien f'(x). D'ailleurs, si tu regardes bien, tu vois que le calcul que l'on te conseille commence par f'(x)=... Donc on doit bien se trouver avec une fonction de x, en l'occurence la dérivée de f en x.

Lis la suite du 1er post.

La réponse est donc correcte ??

Comment tu fais disparaître le a en le remplaçant par des 1 ? Il est censé t'en rester à la fin.

De plus, tu ne peux pas simplifier la différence de deux racines comme tu l'as fait !


Utilise plutôt l'indice que j'ai donné plus haut…

Citation : @dri1

Comment tu fais disparaître le a en le remplaçant par des 1 ? Il est censé t'en rester à la fin.

OMG j'ai recopié le travail fait avant pour trouver la dérivé en 1.
C'est n'importe quoi !

Citation : Me Capello

De plus, tu ne peux pas simplifier la différence de deux racines comme tu l'as fait !

<math>\(\sqrt{a+b} - \sqrt{b} \neq \sqrt{a}\)</math>

Utilise plutôt l'indice que j'ai donné plus haut…

Ce n'est pas ce que j'ai fait (cu moins, voulu faire ) :

On a : <math>\(\frac{\sqrt{1-1+h}-\sqrt{1-1}}{h}\)</math> = <math>\(\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}\)</math> =<math>\(\frac{\sqrt{h}}{h}\)</math>

Non ?

Sinon pour en revenir au vrai sujet (my fault je sais), je vois pas bien comment appliquer l'identité remarquable.

Et donc... <math>\(f(a)=\sqrt{1-a}\)</math>, pas <math>\(\sqrt{1-1}\)</math>...

Pourquoi prends-tu <math>\(a = 1\)</math>, TBBOTS ? Tu dois faire le calcul dans le cas général pour un <math>\(a\)</math> inconnu…

J'avais pris x au lieu de a, mais je t'ai suggéré de calculer :

<math>\(f'(x) = \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to0} \frac{\sqrt{1-(x+h)} - \sqrt{1-x}}{h} = \ldots\)</math>

Relisez mon dernier post, puis mon premier (Edits).

C'est déjà mieux, mais la question 1 n'est toujours pas bon : fonction COMPOSEES (pour la quatrième fois).

Essaye d'arranger un peu cette forme si tu veux pouvois calculer sa limite. (conseil de Me Capello).

Citation : TBBOTS

je vois pas bien comment appliquer l'identité remarquable.

Multiplie le numérateur et le dénominateur par un certain terme que je te laisse trouver… (Si avec ça tu ne trouves pas, je te change en grenouille ! )

Citation : @dri1

C'est déjà mieux, mais la question 1 n'est toujours pas bon : fonction COMPOSEES.

Je suis au courant , et ça arrive !

@Me Capello, J'ai honte c'était évident, j'suis vraiment crevé en ce moment...

EDIT : J'ai maintenant ça : <math>\(\frac{-a}{\sqrt{1-a-h-h^2}+\sqrt{1-a+h^2}}\)</math>

Tu fais tendre h vers 0 non ?

TBBOTS m'a envoyé un MP pour que je l'aide, normalement c'est résolu maintenant, mais il ne m'a pas encore répondu. A suivre.