[1ère] Dérivée et valeur absolue

21 décembre 2011 à 20:14:09

Bon(jour|soir) à tous

!

Voici un problème que j'ai à résoudre, mais le réponse ne convient pas à ce que je recherche...

Énoncé :

Soit la fonction <math>\(f\)</math> définie sur <math>\(\mathbb{R}\)</math> par : <math>\(f(x) = |1-x^2|\)</math>

1. Montrer en utilisant le taux d'accroissement ( aussi appelé "accroissement moyen" ou "taux de variation" ) que la fonction <math>\(f\)</math> n'est pas dérivable en -1 et 1

2. Déterminer la fonction dérivée <math>\(f'\)</math> de la fonction <math>\(f\)</math> sur un ensemble que l'on précisera.

Ce que j'ai fait :

Question 1 :

Tout d'abord, le graphique :

En bleu : <math>\(f(x) = |1-x^2|\)</math>
En rouge, sa fonction dérivée

Image utilisateur

J'ai tout d'abord calculé le nombre dérivé avec a = 1 :

	<math>\(\frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)</math>
=	<math>\(\frac{\|1-(1+h)^2\| -\|1-1^2\|}{h}\)</math>
=	<math>\(\frac{\|1-(1+2h+h^2)\|}{h}\)</math>
=	<math>\(\frac{\|1-1-2h-h^2\|}{h}\)</math>
=	<math>\(\frac{\|-2h-h^2\|}{h}\)</math>
=	<math>\(\frac{(-2h-h^2)^2}{h(-2h-h^2)}\)</math>
=	<math>\(\frac{4h^2+4h^3+h^4}{-2h^2-h^3}\)</math>
=	<math>\(\frac{h^2(h^2+4h+4)}{h^2(-2-h)}\)</math>
=	<math>\(\frac{h^2+4h+4}{(-2-h)}\)</math>
=	<math>\(\frac{(2+h)^2}{(-2-h)}\)</math>
=	<math>\(\frac{-(2+h)\times(2+h)}{(2+h)}\)</math>
=	<math>\(\frac{-(2+h)}{1}\)</math>
=	<math>\(-2-h\)</math>

D'où :

<math>\(\lim_{h\rightarrow0} -2-h = -2\)</math>

En quoi est ce donc impossible puisque je trouve un nombre dérivé (-2)... ?

Je compléterai au fur et à mesure de mes questions, en attendant, merci d'avance, j'espère avoir assez bien rédigé mon post pour être compréhensible par tous.

Bonne soirée

Jcldz

21 décembre 2011 à 20:46:55

En fait tu n'as pris en compte le signe de de h lorsque tu as simplifié ta valeur absolue.

Suivant le signe de h, quand tu le fais tendre vers 0, tu obtiens +2 ou -2 ce qui montre une discontinuité de ta fonction dérivée, et cela est très visible sur le graphique que tu as tracé !

TBBOTS

22 décembre 2011 à 1:57:30

Citation : Jcldz

En fait tu n'as pris en compte le signe de de h lorsque tu as simplifié ta valeur absolue.

Suivant le signe de h, quand tu le fais tendre vers 0, tu obtiens +2 ou -2 ce qui montre une discontinuité de ta fonction dérivée, et cela est très visible sur le graphique que tu as tracé !

D'accord mais je rédige ça comment :/ parce que en + la je n'ai calculé que le 1 et pas avec a = -1

Anonyme

22 décembre 2011 à 9:55:40

<math>\(\begin{align} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=\frac{\left|-2h-h^2\right|}{h}\\ &=\frac{\left|2h+h^2\right|}{h}\\ &=\frac{\left|h(2+h)\right|}{h}\\ &=\left|2-h\right|\frac{|h|}{h}\\ &=\left|2-h\right|\times\begin{cases} 1&\text{ si }h>0\\ -1&\text{ si }h<0 \end{cases} \end{align}\)</math>
Donc:
<math>\(\begin{align} \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=2\\ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}&=-2 \end{align}\)</math>
Il n'y a donc pas de limite du taux d'accroissement en a=1. De plus <math>\(f(-x)=f(x)\)</math>, d'où le taux d'accroissement n'a pas de limite en a=-1.