Salut,

Voilà après avoir recherché (moi tout seul puis sur Internet et les forums du SdZ) sans succès de l'aide, je me tourne vers vous. Dans mon DM, j'ai la fonction dérivée qui est <math>\(f'(x) = -x^5 + 5x^3 - 4x\)</math>

A partir de cette dérivée, je dois la factoriser en produit de polynôme de degré 1 pour pouvoir étudier les variations. Et je dois avouer que je n'ai aucune idée de comment procéder ? Existe t-il une méthode particulière ?

Merci d'avance pour vos réponses,

</span>

Salut,
tu sais (enfin tu dois savoir ) que si a est racine du polynôme P, alors P est factorisable par (x-a).
Je vois 3 racines triviales (évidentes donc comprises entre -1 et 1, si avec ça je ne te dis pas tout ), donc trois membres du genre (x-a) par lesquels tu peux factoriser P.
Quelles sont ces racines ? Arrives-tu as factoriser P ?

Pour <math>\(-x^5\)</math> je trouve <math>\((x - 5)\)</math> et pour <math>\(-4x\)</math> je trouve <math>\((x-4)\)</math>. Je suis pas sur des résultats, ni pour <math>\(5x^3\)</math>

Mais les racines, pas par morceau : les racines du polynome entier !

Tu peux déjà effectuer une première factorisation en sachant que 0 est une racine.

En fait, j'ai l'impression qu'il ne sait pas ce qu'est une racine. Je me trompe ?

En fait je dois trouver les valeurs qui annulent l'équation ?

Parce que je dois avouer que j'ai du mal à comprendre,

Oui si <math>\(\lambda\)</math> est racine de ton polynôme, alors celui-ci est divisible par <math>\((X-\lambda)\)</math>.

Tu remarqueras que si une des racines vaut 0, alors tu peut faire une factorisation évidente.

Sinon quand tu as affaire un polynôme du second degré ou bicarré tu reprends la méthode de ton cours.

Donc pour les valeurs qui annulent je trouve -2, -1, 0, 1, 2.

Ce n'est pas la méthode que je voulais te faire prendre mais bon, dans ce cas calcule :

<math>\(x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2)\)</math> et donne-nous le résultat.


Édit : le réflexe que tu aurais dû avoir c'est de factoriser par <math>\(X\)</math> car 0 est racine de ton polynôme, tu aurais ensuite reconnu un polynôme bicarré dont tu sais normalement extraire les racines.

Je ne peux te donner le résultat exact parce que je dois me tromper mais à chaque résultat que je trouve je n'arrive pas à l'équation de départ.

Dans ce cas reprends ce que j'ai dit dans mon édit, c'est si compliqué que ça de factoriser un polynôme par <math>\(X\)</math> ?

Désolé je n'avais pas vu...

J'ai trouvé quelque chose comme ça :

<math>\(x (-x^4 + 5x^2 -4)\)</math>

Donc là il me suffit juste de poser <math>\(X = x^2\)</math> et de faire la méthode pour les équations du second degré ?

Voilà.

PS : il manque un carré dans ton résultat.

Désolé d'être si long à la détente.

Donc je trouve comme solution <math>\(X1 = 4\)</math> et <math>\(X2 = 1\)</math> soit <math>\(x1 = \sqrt{X1} = \sqrt{4} = 2\)</math> et <math>\(x2 = \sqrt{X2} = \sqrt{1} = 1\)</math>.

Donc ces grâce à ces deux valeurs que je peux factoriser alors ?

Pourquoi tu n'as retenu que les racines positives ?

Erreur de ma part j'ai oublié. Donc il y a bien <math>\(x1 = 2\)</math> ou <math>\(-2\)</math> et <math>\(x2 = 1\)</math> ou <math>\(-1\)</math>, qui sont solutions de l'équation et avec lesquels je peux factoriser c'est bien ça ?

Voilà ce sont toutes les racines, donc la factorisation s'en déduit

Donc en fait mon polynôme est factorisable comme ceci alors :

<math>\((x+2)(x-2)(x+1)(x-1)x\)</math>

Voilà c'est ça, en théorie il faudrait juste faire attention au cœfficient dominant, mais ici il est unitaire. Donc tu as bien le bon résultat.

Merci beaucoup ! Tu m'as ouvert les yeux ! J'avais pensé à faire une réduction par <math>\(X\)</math> mais je m'y étais mal pris. En tout cas merci beaucoup, grâce à toi j'ai bien compris un truc qui m'aurait pris la tête toute la soirée sinon.

Désormais je me ferais appeler mathématicienzero.

Encore une fois merci !