Bonjour à tous,

Je bloque sur un exercice de maths. Voici l'énoncer:

ABC est un triangle
On définit trois points A', B' et C' respectivement sur les droites (BC) (AC) et (AB) en posant :
<math>\(\vec{A'C} = r\vec{A'B}, \vec{C'B}= p\vec{C'A} et \vec{B'A}= q\vec{B'C}\)</math>
où p, q, r sont trois réels différents de 1.

1] Justifier que chacune des égalités ci-dessus définit bien un point unique.
2] On se place dans le repère A,B,C
a) Déterminer les cordonnées de A,B et C ainsi que celles de A', B' et C'
b) démontrer qu'une équation de la droite (BB') est:
qx-(1-q)y=q
c) démontrer qu'une équation de la droite (CC') est:
(1-p)x+y=1
d) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de BB' et CC', s'il existe.
e) Donner une équation de la droite (AA')
3] Montrer que H appartient à la droite (AA') si, et seulement si, pqr = -1
4] Justifier le théorème de Ceva : les droites AA' et BB' et CC' sont concourantes ou parallèles si et seulement si, pqr = -1

J'ai réussis les premières question. Pour le point H je trouve quelque chose de vraiment bizarre

<math>\(x=\frac{1-q}{q}\)</math> et <math>\(y=\frac{(p-1)(1-q)}{q}\)</math>

En fait je vois où il veut en venir ce théorème. p*q*r ne peut être négatif que si 1 des termes est négatif ou si les trois termes sont négatifs. En fonction de ça ce sera parallèle ou sécant. Je peux me tromper.

Est-ce que mes résultats sont bon pour le moment? Je trouve qu'ils sont trop compliqués donc j'aimerais bien une petite confirmation avant de continuer. Merci!

Pour les points j'ai trouvé
<math>\(A'(\frac{r}{r-1};\frac{1}{1-r})\)</math>

<math>\(B'(0;\frac{q}{q-1})\)</math>

<math>\(C'(\frac{1}{1-p};0)\)</math>

et la droite <math>\((AA'):y=\frac{r-1}{r(1-r)}x\)</math>

Pour les coordonnées de A', B' et C', ça me semble bon.
Pour l'équation de la droite AA' aussi, mêm si tu peux simplifier encore un peu l'expression (<math>\(r-1=-(1-r)\)</math>).

Pour les coordonnées <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> du point <math>\(H\)</math>, je suis plus circonspect :
on doit résoudre le système :
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} qx-(1-q)y&=&q \ \ \ (1)\\ (1-p)x+y&=&1\ \ \ (2) \end{array}\)</math>

En réécrivant <math>\((2)\)</math><math>\(y = 1 - (1-p)x\)</math> et en injectant dans <math>\((1)\)</math>, on obtient :
<math>\(\underbrace{(q+(1-q)(1-p))}_{=1-p(1-q)}x=q+(1-q)=1\)</math> ce qui donne <math>\(x = \frac{1}{1-p(1-q)}\)</math>
Ce qui est différent de ton résultat (sans être pour autant plus simple)

Citation : rushia

Pour les coordonnées de A', B' et C', ça me semble bon.
Pour l'équation de la droite AA' aussi, mêm si tu peux simplifier encore un peu l'expression (<math>\(r-1=-(1-r)\)</math>).

Pour les coordonnées <math>\(x\)</math> et <math>\(y\)</math> du point <math>\(H\)</math>, je suis plus circonspect :
on doit résoudre le système :
<math>\(\left\{\begin{array}{ccc} qx-(1-q)y&=&q \ \ \ (1)\\(1-p)x+y&=&1\ \ \ (2)\end{array}\)</math>

En réécrivant <math>\((2)\)</math><math>\(y = 1 - (1-p)x\)</math> et en injectant dans <math>\((1)\)</math>, on obtient :
<math>\(\underbrace{(q+(1-q)(1-p))}_{=1-p(1-q)}x=q+(1-q)=1\)</math> ce qui donne <math>\(x = \frac{1}{1-p(1-q)}\)</math>
Ce qui est différent de ton résultat (sans être pour autant plus simple)

Merci. Donc mon raisonnement était juste j'ai juste fait une erreur de calcul.