Salut à tous !
Voilà j'ai un soucis, le prof de math (donc je suis en Première S comme indiqué dans le titre) nous a balancé une leçon 2 minutes avant la fin du cours pour comparer deux ensembles. Donc aucune explication évidemment et j'ai certainement dû mal copier parce que je ne vois pas comment interpréter ça. J'ai cherché un peu sur internet pour savoir comment comparer deux ensembles mais bon ça donne un cas général, et c'est pas clair comme histoire.
Je me demandais donc si vous pouviez m'accompagner, me donner la première étape ou un bon indice pour comparer cet ensemble :
J'ai noté comme un porc dans mon agenda je crois qu'il faut démontrer la.."déclusion réciproque", si vous pouviez éclairer ma lanterne...
Et voici les deux solutions :

<math>\(x \in \left\{\left \frac{\pi}{2} \right + k.\pi / k \in \mathbb{Z}\right\}\cup\left\{k'.\pi / k' \in \mathbb{Z}\right\}\)</math>
<math>\(x \in \left\{ k.\left \frac{\pi}{2} \right / k \in \mathbb{Z}\right\}\)</math>
(au passage c'est affreusement long d'écrire en latex quand on ne connait pas).
Voilà, si vous avez de l'aide à m'apporter ça ne serrait pas de trop, merci d'avance !

Je suppose que ton professeur voulait parler d'inclusion réciproque. En fait, pour montrer que deux ensembles sont égaux, on montre généralement que le premier est inclus dans le second et inversement.

Ici, on va noter :
<math>\(A = \left\{\left \frac{\pi}{2} \right + k.\pi / k \in \mathbb{Z}\right\}\cup\left\{k'.\pi / k' \in \mathbb{Z}\right\}\)</math>
et
<math>\(B = \left\{ k.\left \frac{\pi}{2} \right / k \in \mathbb{Z}\right\}\)</math>

Tu as donc deux choses à faire :

• prendre <math>\(x\in A\)</math> et prouver qu'on a alors <math>\(x\in B\)</math> (pas trop dur, mais il faut bien regarder tous les cas possibles), ce qui permet alors de dire <math>\(A\subset B\)</math>
• prendre <math>\(x\in B\)</math> et prouver qu'on a alors <math>\(x\in A\)</math> (indice : regarder la parité de <math>\(k\)</math>), ce qui permet de dire <math>\(B\subset A\)</math>

On en déduit par inclusion réciproque que <math>\(A=B\)</math>

PS : pour le premier cas, il faut se souvenir du fait suivant : <math>\(x\in C\cup D \Leftrightarrow x\in C\text{ OU }x\in D\)</math>, il y a donc bien deux cas à traiter.

PPS : écrire en latex est long, mais ça rend la lecture de ton problème bien plus agréable, donc je te félicite pour tes efforts

Honnêtement j'en sais rien du tout je sais pas du tout quoi faire je crois qu'il va juste falloir que je suive bien en cours demain je ne sais pas prouver que <math>\(x \in B\)</math> à partir de là je suis mal barré il est bientôt 22h30 vu le peu de temps qu'il reste et l'état de mon cerveau en soirée j'peux pas trop en dire plus.
Merci tout de même d'avoir tenté de m'aider !

Le principe est le suivant (je te montre juste le sens <math>\(A\subset B\)</math> ):
Soit <math>\(x\in A\)</math>, on a alors deux cas :
soit il existe <math>\(k\in\mathbb{Z}\)</math> tel que <math>\(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)</math>, auquel cas on a <math>\(x=\underbrace{(1+2k)}_{k'\in\mathbb{Z}}\frac{\pi}{2}\)</math> et on voit bien que <math>\(x\in B\)</math> (car il existe <math>\(k' \in\mathbb{Z}\)</math> tel que <math>\(x=k'\frac{\pi}{2}\)</math>)
soit il existe <math>\(k\in\mathbb{Z}\)</math> tel que <math>\(x=k\pi\)</math>, auquel cas on a <math>\(x=\underbrace{(2k)}_{k'\in\mathbb{Z}}\frac{\pi}{2}\)</math> et on voit bien que <math>\(x\in B\)</math> (car il existe <math>\(k' \in\mathbb{Z}\)</math> tel que <math>\(x=k'\frac{\pi}{2}\)</math>)

pour l'autre sens c'est le même principe, on part de <math>\(x=k\frac{\pi}{2}\)</math> et selon la parité de <math>\(k\)</math> on regarde si on peut tomber sur une des deux expressions du premier ensemble.

Ce n'est en réalité qu'un petit jeu de transformation d'écriture.