Bonjour. J'ai un exercice pendant les vacances a faire qui consiste a nous faire démontrer que dans un triangle ABC non applati, l'orthocentre (point d'intersection des hauteurs d'un triangle), le centre de gravité d'un triangle et le centre du cercle circonscrit du triangle ABC sont aligné. on définit O ainsi : <math>\(\vec{HO} = \frac{1}{2}\vec{HA} + \vec{HB} + \vec{HC}\)</math>

Je crois que j'ai réussi la premiere question : montrer que <math>\(AO^2-HO^2=\vec{AH}.(\vec{HB}+\vec{HC})\)</math>
solution :
<math>\(AO^2-HO^2=\)</math>
<math>\(=(\vec{AO}+\vec{HO}).(\vec{AO}-\vec{HO})\)</math>
<math>\(=(\vec{AO}+\vec{HO}).(\vec{AO}+\vec{OH})\)</math>
<math>\(=(\vec{AO}+\vec{HO}).\vec{AH}\)</math>
<math>\(=(\vec{AH}+\vec{HO}+\vec{HO}).\vec{AH}\)</math>
<math>\(=(\vec{AH}+\vec{HA}+\vec{HB}+\vec{HC}).\vec{AH}\)</math>
<math>\(=(\vec{0}+\vec{HB}+\vec{HC}).\vec{AH}\)</math>
<math>\(=\vec{AH}.(\vec{HB}+\vec{HC})\)</math>

C'est dès la deuxième question que je sèche : en déduire que <math>\(AO^2-HO^2 = 2\vec{AH}.\vec{HA'}\)</math> où A' est le projeté orthogonal de A sur [BC]. J'ai essayé divers truc mais je tourne en rond ^^' Pouvez-vous m'indiquer comment faire merci.

Dans ton problème, que représente le point H ?

Le point H est l'orthocentre.

Si H est l'orthocentre, alors ta deuxième égalité devient très simple à montrer.
A partir de ton premier résultat, à savoir <math>\(AO^2-HO^2=\vec{AH}(\vec{HB}+\vec{HC})\)</math>, je te conseille d'introduire le point A' dans les vecteurs entre parenthèses.
Ensuite, tu peux développer et tu vas tomber sur trois termes. Le premier est ce que tu cherches (normalement), ce qui implique que les deux autres soient nuls... ce qui n'est pas bien dur à montrer étant donné la définition de A' et de l'orthocentre.

Merci, donc :
<math>\(\vec{AH}.(\vec{HB}+\vec{HC})\)</math>
<math>\(\vec{AH}.(\vec{HA'}+\vec{A'B}+\vec{HA'}+\vec{A'C})\)</math>
<math>\(\vec{AH}.(2\vec{HA'}+\vec{A'B}+\vec{A'C})\)</math>
<math>\(\vec{AH}.2\vec{HA'}+\vec{AH}.\vec{A'B}+\vec{AH}.\vec{A'C}\)</math>
<math>\(2\vec{AH}.\vec{HA'}+\vec{AH}.\vec{A'B}+\vec{AH}.\vec{A'C}\)</math>

Et comment je dis que <math>\(\vec{AH}.\vec{A'B} = \vec{0}\)</math> et <math>\(\vec{AH}.\vec{A'C} = \vec{0}\)</math> ?

<math>\(A'\)</math> est le projeté orthogonal de <math>\(A\)</math> sur <math>\((BC)\)</math> donc <math>\(\vec{BA'}\)</math> et <math>\(\vec{CA'}\)</math> sont "parallèles" à <math>\((BC)\)</math>. Or <math>\(H\)</math> étant l'orthocentre, donc <math>\(\vec{AH}\)</math> est "parallèle" à la hauteur issu de <math>\(A\)</math> qui par définition est orthogonale à <math>\((BC)\)</math> d'où la nullité des deux produits scalaires.

Si tu fais un dessin en marquant bien les angles droits, tout devrait te paraitre clair.

Ah oui je comprend mieux merci. Aucun calcul à faire dans ce cas, je rédige seulement pour exprimer la nullité de ces produits scalaires ?

La question suivante est : donner les deux égalités analogues de <math>\(AO^2-HO^2 = 2\vec{AH}.\vec{HA'}\)</math>
Je n'ai pas trop compris ce que voulait dire analogue mais je crois que les deux égalités sont : <math>\(BO^2-HO^2 = 2\vec{BH}.\vec{HB'}\)</math> et <math>\(CO^2-HO^2 = 2\vec{CH}.\vec{CA'}\)</math> C'est bien ça ?

Oui, trouver les deux autres relations analogues signifie trouver les deux autres relations satisfaites en utilisant la même méthode de raisonnement.

Dans ton cas, tu as raisonné sur le point A, mais tu aurais pu tout autant raisonner sur les points B et C.
Avec ces points, les relations auraient été effectivement : <math>\(BO^2-HO^2=2\vec{BH}.\vec{HB'}\)</math> où B' est le projeté orthogonal de B sur [AC] et <math>\(CO^2-HO^2=2\vec{CH}.\vec{HC'}\)</math> où C' est le projeté orthogonal de B sur [AB]

Merci la question suivante est montrer que : <math>\(\vec{AH}.\vec{HA'}=\vec{BH}.\vec{HB'}\)</math>

J'introduis les point B et B' dans <math>\(\vec{AH}.\vec{HA'} = (\vec{AB}+\vec{BH}).(\vec{HB'}+.\vec{B'H}) = \vec{AB}.\vec{HB'} + \vec{AB}.\vec{B'H} + \vec{BH}.\vec{HB'} + \vec{BH}.\vec{B'H}\)</math>

Le soucis c'est que comment démontrer que <math>\(\vec{AB}.\vec{HB'} + \vec{AB}.\vec{B'H} + \vec{BH}.\vec{B'H} = \vec{0}\)</math> alors qu'aucun d'entre eux n'est orthogonaux ?

Le plus simple pour montrer que <math>\(\vec{AH}.\vec{HA'} = \vec{BH}.\vec{HB'}\)</math> est de montrer que <math>\(AO^2-HO^2=BO^2-HO^2\)</math> soit encore <math>\(AO^2=BO^2\)</math>, soit encore <math>\(AO^2-BO^2=0\)</math>.
Pour cela, il te suffit d'introduire le point H entre A et O et entre B et O et tu développes en utilisant l'identité remarquable <math>\(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\)</math>.
Dans le terme où les <math>\(\vec{HO}\)</math> se simplifient, tu reconnais <math>\(\vec{AB}\)</math> ; dans l'autre terme, en utilisant la relation vectorielle définissant le point O (d'ailleurs, ce serait mieux avec des parenthèses après la fraction...), tu vas trouver <math>\(\vec{HC}\)</math>.
Tu obtiens ce que tu veux par définition de l'orthocentre....

Je m'étais dit comme Gr3n@d1n3. Mais si tu veux faire ta méthode, je préfère te prévenir que tu t'es trompé (surement une erreur d'étourderie) en introduisant <math>\(B'\)</math> entre <math>\(H\)</math> et <math>\(A'\)</math> (le <math>\(A'\)</math> s'est transformé en <math>\(H\)</math>)

Merci.Donc oui je trouve : <math>\(AO^2-BO^2 = \vec{AB}.\vec{HC}\)</math> et comme les vecteurs AB et HC sont orthogonaux, leurs produits scalaire est nul.

rushia> Oui une petite erreur d’inattention.

La question suivante est de démontrer que le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Normalement on doit faire <math>\(\vec{AO}+\vec{BO}+\vec{CO}=\vec{0}\)</math>,mais vu qu'on a pas trop de donnée dans l'énoncé je ne vois pas trop comment faire... Une piste ?

Tu viens de montrer que <math>\(||\vec{AO}||=||\vec{BO}||\)</math>. Par analogie, tu peux montrer que <math>\(||\vec{AO}||=||\vec{CO}||\)</math>.
Au final, les longueurs AO, BO et CO sont égales, donc les points A, B et C se trouvent sur un cercle de centre O... précisément, il s'agit du cercle circoncrit

Trop bête... Donc je trouve <math>\(AO^2-CO^2= \vec{AC}.\vec{HB}\)</math> et là aussi comme les vecteurs AC et HB sont orthogonaux, leurs produits scalaire est nul.

Dernière question : la question de la mort qui tue : Soit G le centre de gravité (point d'intersection des médianes) du triangle ABC, démontrer que O, H et G sont alignés. Droite d'Euler. Qu'est-ce que je dois commencer par faire ? Et je dois arriver à quel résultat pour prouver l'alignement ?

Est-ce que tu as cherché un peu avant ? parce que ça serait bien plus instructif pour toi au lieu d'attendre la réponse comme tu m'en donnes l'impression...

Non juste je veux savoir par où commencer. J'ai regardé sur wikipédia leur méthode mais bof...

En partant de la formule <math>\(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\)</math> (<math>\(G\)</math> est l'isobarycentre de <math>\(A\)</math>, <math>\(B\)</math> et <math>\(C\)</math>), en introduisant <math>\(H\)</math> et en utilisant l'expression de <math>\(\vec{HO}\)</math> du début, tu devrait réussir à montrer que <math>\(\vec{HO}\)</math> et <math>\(\vec{GH}\)</math> sont colinéaires et comme ces deux vecteurs ont un point en commun, tu en déduiras l'alignement des points.