Salut tout le monde ! Mon prof de maths m'a donné un devoir pour les vacances tiré d'Olympiades de 2002.
Voilà le sujet :
On considère la fonction f définie sur I = [0;π] par <math>\(f:x \rightarrow x/(x+\pi) - cos (x)\)</math>
Je pense qu'il faut faire quelque chose comme démontrer qu'elle est strictement croissante sur I mais je ne sais pas comment.
<math>\(x/(x+\pi)\)</math> est strictement croissante sur I, mais <math>\(cos (x)\)</math> est strictement décroissante sur [0;π/2] et strictement croissante sur [π/2;π].
Je ne peux pas no plus étudier le signe de la dérivée car on n'a pas vu celle de la fonction cosinus.

Je ne vous demande pas de me faire le devoir évidemment mais si vous pouviez me donner un début de piste ça serait agréable

Bonjour Enuxa,

Il manque un petit bout de ton énoncé je pense... tu ne donnes pas la problématique liée à cette fonction - montrer que <math>\(f\)</math> s'annule en un unique point <math>\(x_0 \in I\)</math> je pense, vu ce dont tu parles ensuite...

Par contre, la fonction <math>\(x \mapsto cos(x)\)</math> est strictement décroissante sur tout l'intervalle <math>\([0,\pi]\)</math>, donc ta remarque + cette propriété te suffisent pour appliquer le théorème auquel tu sembles penser !

Au passage, <math>\(\cos\)</math> est décroissante sur <math>\([0;\pi]\)</math> et donc <math>\(-\cos\)</math> est croissante sur ce même intervalle, il n'y a donc aucun problème.

Edit : grillé par l'edit de Syfro, message inutil donc

Ah mais quel couillon j'ai oublié l'énoncé -_-

Effectivement le voici :

1-Démontrez que l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur [0;π]

Ah mais oui -cos (x) est bien strictement croissante sur I ! Youpi alors je suis capable de faire des exos d'olympiades , enfin pas loin quoi.

PS : Pour l'histoire de cos (x) croissante sur [0;π/2] et decroissante sur [π/2;π], j'ai mélangé avec son signe

Merci beaucoup

merci