Bonjour,

J'ai essayé de résoudre (sans succès) un exercice où il fallait démontrer l'inégalité <math>\(0 < \frac{1}{b} < \frac{2}{a + b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}} < \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) < \frac{1}{a}\)</math> avec <math>\(0 < a < b\)</math>. Et quand j'ai voulu voir la correction, j'ai même pas réussi à la comprendre..

En fait je bloque sur la démonstration d'un lemme utilisé pour la partie de l'inégalité avec les <math>\(\ln\)</math>. Le lemme est :

Citation

Soit <math>\(f\)</math> une fonction définie sur un intervalle <math>\(I\)</math>, à valeurs dans <math>\(\mathbb{R}\)</math>, dérivable et de dérivée strictement croissante. Alors pour <math>\(u, v \in I\)</math>, avec <math>\(u < v\)</math> :

<math>\((v-u)f(\frac{u+v}{2})<\int_u^v f(t)dt\)</math>

Et voici la démonstration :

Citation

<math>\(\int_u^v f(t)dt - (v-u)f(\frac{u+v}{2})=\int_u^v (f(t) - f(\frac{u+v}{2}))dt=\int_0^\frac{u+v}{2} g(\tau)d\tau\)</math>, où : <math>\(g(\tau) = f(\frac{u+v}{2} + \tau) - 2f(\frac{u+v}{2}) + f(\frac{u+v}{2} - \tau)\)</math>.
Or <math>\(g'(\tau) = f'(\frac{u+v}{2} + \tau) - f'(\frac{u+v}{2} - \tau) > 0\)</math> si <math>\(\tau > 0\)</math>. Ainsi <math>\(g\)</math> est strictement croissante. Comme <math>\(g(0)=0\)</math>, on voit que <math>\(g(\tau)>0\)</math> si <math>\(\tau > 0\)</math>, donc <math>\(\int_\frac{u+v}{2}^v g(\tau)d\tau > 0\)</math>, ce qu'il fallait démontrer.

En fait je ne comprends pas à partir de l'introduction de la fonction <math>\(g(\tau)\)</math>, pourquoi on trouve que <math>\(\int_u^v (f(t) - f(\frac{u+v}{2}))dt=\int_0^\frac{u+v}{2} g(\tau)d\tau\)</math>, pourquoi on peut changer comme ça les bornes de l'intégrale, comment on peut imaginer cette fonction <math>\(g\)</math>, etc.

Merci d'avance pour votre aide.

Au lieu de considérer <math>\(t\in[u,v]\)</math>, tu fais varier <math>\(\tau\)</math> dans <math>\([0,\frac{v-u}{2}]\)</math>, c'est à dire un intervalle de longeur la moitié de l'intervalle de départ. Ensuite:

• si <math>\(t\in[\frac{u+v}{2},v]\)</math> (la moitié supérieure de l'intervalle <math>\([u,v]\)</math>), tu peux remplacer t par <math>\(\frac{u+v}{2}+\tau\)</math>, cad <math>\(t=\frac{u+v}{2}+\tau\)</math>
• si <math>\(t\in[u,\frac{u+v}{2}]\)</math>, tu peux remplacer t par <math>\(\frac{u+v}{2}-\tau\)</math>

<math>\(\int_{u}^{v}f(t)\mathrm{d}t=\int_{u}^{\frac{u+v}{2}}f(t)\mathrm{d}t+\int_{\frac{u+v}{2}}^{v}f(t)\mathrm{d}t\)</math>
Tu fais alors le changement de variable:

• Comme (notation de physique bien pratique) <math>\(\frac{d\tau}{dt}=\frac{d\left(\frac{u+v}{2}-t\right)}{dt}=-1\)</math>, <math>\(d\tau=-dt\)</math>. Le signe moins est logique puisqu'on parcourt l'intervalle dans le "mauvais sens". Donc <math>\(\int_{u}^{\frac{u+v}{2}}f(t)\mathrm{d}t=-\int_{\frac{v-u}{2}}^0f(\frac{u+v}{2}-\tau)\mathrm{d}\tau\)</math>(voir mon message plus bas)
• presque pareil mais <math>\(d\tau=dt\)</math>, donc <math>\(\int_{\frac{u+v}{2}}^{v}f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{v-u}{2}}f(\frac{u+v}{2}+\tau)\mathrm{d}\tau\)</math>

Donc <math>\(\int_{u}^{v}f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{v-u}{2}}f(\frac{u+v}{2}+\tau)-f(\frac{u+v}{2}-\tau)\mathrm{d}\tau\)</math>.
Or <math>\((v-u)f(\frac{u+v}{2})=\int_{0}^{\frac{u+v}{2}}2f(\frac{u+v}{2})\mathrm{d}\tau\)</math>
On a alors presque le résultat attendu (pour le signe: erreur de calcul de ma part ou de recopie ?).
D'ailleurs les changement de variable sont post-bac.

Edit: correction des bornes supérieurs après changement de variables

D'accord je comprends mieux le principe, mais il reste quand même des trucs sur lesquels je bloque.
Tu as dis que :

Citation : zMath

Au lieu de considérer <math>\(t\in[u,v]\)</math>, tu fais varier <math>\(\tau\)</math> dans <math>\([0,\frac{u+v}{2}]\)</math>, c'est à dire un intervalle de longeur la moitié de l'intervalle de départ.

Mais <math>\([0,\frac{u+v}{2}]\)</math> n'a pas une longueur égale à la moitié de celle de <math>\([u,v]\)</math> (comme <math>\(\frac{u+v}{2} \neq \frac{v-u}{2})\)</math>. Du coup les égalités <math>\(\int_{u}^{\frac{u+v}{2}}f(t)\mathrm{d}t=-\int_{0}^{\frac{u+v}{2}}f(\frac{u+v}{2}-\tau)\mathrm{d}\tau\)</math> et <math>\(\int_{\frac{u+v}{2}}^{v}f(t)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\frac{u+v}{2}}f(\frac{u+v}{2}+\tau)\mathrm{d}\tau\)</math> me paraissent illogiques.
En fait il me semble qu'il faudrait faire varier <math>\(\tau\)</math> dans <math>\([0,\frac{u+v}{2} - u]\)</math>, soit dans <math>\([0,\frac{v-u}{2}]\)</math>. Mais ce n'est pas le cas dans la démonstration donc qu'est-ce que je ne comprends pas ?

La suite de ton raisonnement m'éclaire aussi mais en partie, la notation <math>\(\frac{d\tau}{dt}\)</math> me parle pas vraiment..

Merci pour ton aide en tout cas

Citation : royalbru

La suite de ton raisonnement m'éclaire aussi mais en partie, la notation <math>\(\frac{d\tau}{dt}\)</math> me parle pas vraiment...

Quand on fait un changement de variable, on change la variable d'intégration : ici de <math>\(t\)</math> à <math>\(\tau\)</math>, mais ça implique de changer le <math>\(dt\)</math> en fin d'intégrale en une expression contenant <math>\(d\tau\)</math>. Pour cela, on écrit t en fonction de tau et dériver les deux côtés par rapport à t
<math>\(\tau =\frac{u+v}{2}-t\)</math>
<math>\(\frac{d\tau}{dt} =\frac{d(\frac{u+v}{2}-t)}{dt}\)</math>
<math>\(\frac{d\tau}{dt} =\frac{d(\frac{u+v}{2})}{dt}+\frac{d(-t)}{dt}\)</math>
<math>\(\frac{d\tau}{dt} =0+\frac{d(-t)}{dt}\)</math> (car <math>\(u+v/2\)</math> est une constante)
<math>\(\frac{d\tau}{dt} = -1\)</math> (car la dérivée de <math>\(t\)</math> est 1)

Il suffit de remplacer <math>\(dt\)</math> dans l'intégrale suivant : <math>\(dt= -d\tau\)</math>

J'ai écrit plusieurs bêtises :

• tu as raison pour la longueur de l'intervalle, donc les bornes supérieurs sont après changement de variable <math>\(\frac{v-u}{2}\)</math> (je vais éditer ça)
• ensuite, comme <math>\(\tau=\frac{u+v}{2}-t\)</math>; pour avoir les bornes: quand t=u, <math>\(\tau=\frac{v-u}{2}\)</math> et quand <math>\(t=\frac{u+v}{2}\)</math>, <math>\(\tau=0\)</math> . Donc <math>\(\int_{u}^{v}f(t)\mathrm{d}t=\int_{\frac{v-u}{2}}^{0}f(\frac{u+v}{2}-\tau)(-\mathrm{d}\tau)=\int_0^{\frac{v-u}{2}}f(\frac{u+v}{2}-\tau)\mathrm{d}\tau\)</math>

Bilan: on retrouve le résultat de le démonstration et je m'excuse de t'avoir écrit des bêtises.

Lanfeust 313 > Je comprends mieux merci, en fait c'était juste un calcul de dérivée. J'imagine que c'est la méthode pour faire un changement de variable.

zMath > Ça y est j'ai enfin compris merci ! Mais du coup la démonstration de départ que j'avais était fausse c'est ça ? Il aurait fallu remplacer <math>\(... = \int_0^\frac{u+v}{2} g(\tau)d\tau\)</math> par <math>\(... = \int_0^\frac{v-u}{2} g(\tau)d\tau\)</math> ?
Aussi la chute de ma démonstration : "donc <math>\(\int_\frac{u+v}{2}^v g(\tau)d\tau > 0\)</math>, ce qu'il fallait démontrer" est fausse ? Il aurait fallu les mêmes bornes <math>\(\int_0^\frac{v-u}{2} g(\tau)d\tau\)</math> ?

Citation : royalbru

Aussi la chute de ma démonstration : "donc <math>\(\int_\frac{u+v}{2}^v g(\tau)d\tau > 0\)</math>, ce qu'il fallait démontrer" est fausse ? Il aurait fallu les mêmes bornes <math>\(\int_0^\frac{v-u}{2} g(\tau)d\tau\)</math> ?

Oui, d'autant plus que tu n'es pas sur que la foncton f soit définie pour <math>\(\tau=v\)</math> (notament si v est une extrémité de I et u>0).

Par contre, les hypothèses de départ précisent que la dérivée doit être strictement croissante, ce qui n'est pas le cas pour f=ln : dans le corrigé, ils prennent f=-ln ?

D'accord donc la correction que j'avais était fausse.

Oui par contre la fin est bien juste. Ils utilisent <math>\(x\rightarrow \frac{1}{x}\)</math> entre <math>\(a\)</math> et <math>\(b\)</math> pour obtenir <math>\(\frac{2}{a+b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a}\)</math> et <math>\(x\rightarrow e^x\)</math> entre <math>\(\ln a\)</math> et <math>\(\ln b\)</math> pour obtenir <math>\(\frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{\sqrt{ab}}\)</math>

Merci de m'avoir aidé à démêler tout ça en tout cas !
Je mets le sujet en résolu.

Je passe ici en mode touriste, mais je trouve cet exercice très compliqué. Quand tu dis "niveau bac", je suppose que tu prépares du post-bac ?

Il m'a l'air largement plus compliqué que les broutilles que j'ai faites toute cette année de TS puis au bac, et bien qu'ayant compris la démonstration et les différentes explications données ici, j'aurais été complètement incapable de le résoudre (mis à part les quatre-cinq membres les plus à l'extérieur), ou même sûrement d'expliciter le de la démonstration qui te gênais.

J'en viens donc à te demander, dans quel contexte travailles-tu cet exercice ?

Oui je prépare le post-bac, je rentre en MPSI cette année. J'ai dit "niveau BAC" car cet exercice ne demande pas de connaissances théoriques autres que celles de TS mais c'est sûr qu'il se rapproche plutôt d'exercice d'olympiades (normal il est tiré de ce livre).

De toute façon, c'est pas pour nous défendre , mais je pense pas que beaucoup de nouveaux bacheliers auraient été capables d'imaginer ce lemme pas du tout évident et le démontrer pour résoudre cet exo..

Citation : royalbru

mais je pense pas que beaucoup de nouveaux bacheliers auraient été capables d'imaginer ce lemme pas du tout évident et le démontrer pour résoudre cet exo..

J'ai terminé mon année de MPSI et j'aurai pas eu l'idée du lemme non plus (en tout cas pas juste en regardant l'exercice, mais j'ai pas cherché)...

Citation : zMath

Citation : royalbru

mais je pense pas que beaucoup de nouveaux bacheliers auraient été capables d'imaginer ce lemme pas du tout évident et le démontrer pour résoudre cet exo..

J'ai terminé mon année de MPSI et j'aurai pas eu l'idée du lemme non plus (en tout cas pas juste en regardant l'exercice, mais j'ai pas cherché)...

Ouf, je suis rassuré. Je rentre aussi en MPSI cette année, d'ailleurs.