Bonjour, nous étudions la fonction de second degrés à l'école. Dans une question d'examen il me demandait de résoudre cette inéquation:

-0.525t²+2.1t+1.9 >= 2.9

Mais je n'y arrive pas !

Donc comment puis-je la resoudre? Merci de bien m'expliquer, car les math est une de mes matières forte et je veux absolument comprendre

Pour résoudre une inéquation du second degré, il va falloir faire un tableau de signe... mais pour ce faire, il faut étudier ta fonction du second degré et la factoriser si c'est possible.

Dans un premier temps, tu passes tous tes termes dans un même membre ; il te faut étudier la fonction <math>\(f(x) = -0,525t^2+2,1t-1\)</math>.
Tu calcules le discriminant et selon son signe, tu peux factoriser f sous différentes formes (rappel ici).
Une fois f factorisée en deux facteurs au maximum, tu l'étudies en cherchant :

• les points où elle s'annule
• le signe de chaque facteur sur chaque intervalle correspondant

A partir de là, tu peux trouver le signe de f sur chaque intervalle adéquat en utilisant les règles suivantes : + multiplié par + fait +, - multiplié par - fait + et + multiplié par - fait -.
La dernière étape consiste à déterminer le ou les intervalles sur lesquels ta fonction est positive ou nulle (c'est le cas de ton exemple).

Voilà, j'espère que ça va t'aider ;p

en moin compliquer s'il te plait... je comprend rien de se que ta dit

Commence par mettre des fractions à la place des nombres décimaux, c'est plus clair !
Ensuite, on travaille toujours par rapport à zéro ( )

donc <math>\(-0.525t^2 + 2.1t - 1 >= 0\)</math>

Ensuite tu calcules le déterminant et les deux solutions x1 et x2 (je penses que tu sais faire).
Tu obtient le signe du polynôme selon x:

Pour x appartenant à <math>\(]-infini ; x1 [ U ]x2 ; +infini[\)</math> le polynôme est du signe de son premier membre(ici -).
Pour x appartenant à <math>\(]x1 ; x2[\)</math> le polynôme est du signe inverse de son premier membre(ici +).

@WoofWoofDude : Est-ce que tu as déjà réussi à factoriser f ? Parce que ce n'est pas forcément instructif de mâcher le travail...

N'a ça j'avais compris en fait, de la mettre égale à 0 :P... ses après justement qui bloque (darkingold).

1) Nous n'avons pas vue le déterminant

2) Nous avons vu une façon de la résoudre, mais elle ne marche pas... Si vous voulez je peux vous montrer ce que j'ai faite pour arriver à où ça bloque ?

3)Gr3n@d1n3... j'ai regarder ton lien mais... eummm je comprend mal

@Darkingold : Il ne s'agit pas du déterminant, mais du discriminant

@WoofWoofDude : Si tu pouvais effectuer montrer ce que tu as fait, ça permettrait de savoir où tu bloques vraiment.

-0.525t²+2.1t-1=0

je j'ai fait *1000 et /25 après:

-21x²+84t-40=0
-21x²+m+n-40=0

m+n=84
m*n=-21*-40=840

Donc je dois trouver 2 nombres (m, n) qui donne 84 lorsqu'on les aditionnes et 840 lorsqu'on les multiplies

mais je ne les trouve pas...

Voici comment nous avons appris à résoudre quelque équation du second degrés et si ça peut vous aider ça va faire seulement 10 que je suis à l'école j'ai 16 ans...

Déjà fais attention à ne pas mélanger les variables, je vois à la fois des x et des t...

Ensuite, je ne vois pas pourquoi tu cherches m et n comme ceci ; s'il s'agit des racines de ta fonction du second degré, ils ne vérifient en aucun cas <math>\(-21x^2 + m + n - 40 = 0\)</math> !

Par contre, si tu as une équation du second degré sous la forme <math>\(at^2+bt+c=0\)</math>, ses racines doivent vérifier les relations suivantes :

• <math>\(m+n=-\frac{b}{a}\)</math> soit dans ton cas <math>\(m+n=\frac{84}{21}=4\)</math>
• <math>\(mn=\frac{c}{a}\)</math> soit dans ton cas <math>\(mn=\frac{40}{21}\)</math>

Une fois trouvées m et n, tu vas pouvoir factoriser ta fonction du second de gré sous la forme <math>\(-21(t-n)(t-m)\)</math>.

Les points remarquables où cette fonction s'annule sont donc m et n.
Ensuite, tu dois étudier le signe de chaque facteur, c'est-à-dire (t-n) et (t-m), sur les intervalles délimités par n et m et appliquer les règles que je t'ai énoncées plus haut concernant les signes.

Bon, merci tu viens de me faire réaliser que dans le font je transforme ma forme générale en forme factorisé.

Ensuite, comment tu sais toi que m+n= -b/a, m*n = c/a ? Parce que nous nous avons appris que m+n=b m*n=a*c.

Aussi désoler pour le t et le x ses que je suis habituer de travailler avec x donc je me mélange souvent dans mes explication...

Citation : WoofWoofDude

Ensuite, comment tu sais toi que m+n= -b/a, m*n = c/a ? Parce que nous nous avons appris que m+n=b m*n=a*c.

Parce que c'est vrai
Et aussi parce que <math>\(a(X-m)(X-n) = aX^2 - a(m+n)X + amn\)</math> donc en identifiant avec la forme <math>\(aX^2 + bX + c\)</math> on trouve <math>\(-a(m+n) = b, amn = c\)</math>, d'où le résultat.

Comment je le sais pour m+n et mn ?
Eh bien, si tu reprends le lien que je t'ai donné plus haut, et si tu suis les explications, notamment dans la deuxième partie sur l'étude de la fonction à partir de la forme canonique, tu vois que une expression du second degré où le discriminant serait positif peut s'écrire sous la forme
.
Autrement dit, les deux racines que tu notes m et n peuvent en réalité s'écrire <math>\(m =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)</math> et <math>\(n=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)</math>.
Si tu calcules alors m+n et mn, tu retrouveras les relations données : <math>\(m+n=-\frac{b}{a}\)</math> et <math>\(mn=\frac{c}{a}\)</math>

vous etes trop haut niveau pour moi :P, je ne comprend enfaite rien dans ta gosse formule, mais ce n'est pas grave.

La je ne vois pas comment tu veux que je trouve m et n... Donc, comment?

Citation : Gr3n@d1n3

Si tu as une équation du second degré sous la forme <math>\(at^2+bt+c=0\)</math>, ses racines doivent vérifier les relations suivantes :

• <math>\(m+n=-\frac{b}{a}\)</math> soit dans ton cas <math>\(m+n=\frac{84}{21}=4\)</math>
• <math>\(mn=\frac{c}{a}\)</math> soit dans ton cas <math>\(mn=\frac{40}{21}\)</math>

Ça te servira à trouver m et n pour commencer.

Pourquoi factoriser ? Ça ne présente aucun intérêt si ce n'est l'embrouiller.
Il suffit de regarder le signe du coefficient du terme du second degré.
Ton polynôme est du signe de ce coefficient, sauf entre les racines.

Il suffit de faire un dessin pour s'en convaincre.

Donc pour résumer :
- Trouve quand ton équation s'annule
- Déduis en ton tableau de signe de ta fonction grâce au coefficient du terme du second degré et tes racines.

justement... je ne vois pas comment sa peut bien m'aider ? (Gr3n@d1n3)

C'est bien ce que je dis... (oui discriminant je sais mais j'étais fatigué )

Sauf qu'il ne connaît pas le discriminant, donc pour trouver quand son équation s'annule il doit passer par la forme canonique, ie factoriser.

merci korsian je savais pas coi repondre

EDIT:
De l'aide Gr3n@d1n3... sa ne marche pas

stp dit moi comment faire parce que je ne sais pas comment tu veux que je trouve m et n grace a ça...

En fait, tes formules sont justes mais inhabituelles, de plus, m et n ne sont pas les racines de ton polynôme.

Soit <math>\(p\)</math> et <math>\(q\)</math> les racines de ton polynôme, tu as <math>\(p+q = -\frac{b}{a}\)</math> et <math>\(pq = \frac{c}{a} = \frac{ac}{a^2}\)</math>. En posant <math>\(p = -\frac{m}{a}\)</math> et <math>\(q = -\frac{n}{a}\)</math>, les formules deviennent :
<math>\(-\frac{m+n}{a} = -\frac{b}{a} \Leftrightarrow m+n = b\)</math>
et
<math>\(\frac{mn}{a^2} = \frac{ac}{a^2} \Leftrightarrow mn = ac\)</math>

Dans ton cas et selon ta méthode (inhabituelle je le répète) il faut bien que tu trouves <math>\(m\)</math> et <math>\(n\)</math> tels que <math>\(m+n = 84\)</math> et <math>\(mn=840\)</math> et avec les outils (ou plutôt l'absence d'outil) à ta disposition, il faut faire ça au pif... c'est pas si évident.

Pour trouver m et n, il te suffit de résoudre le système donné plus haut :
<math>\(m+n = 4\)</math> (1) et <math>\(mn=\frac{40}{21}\)</math> (2).
De (1) : <math>\(m=4-n\)</math>
En remplaçant dans (2) : <math>\(n(4-n)=\frac{40}{21}\)</math> ce qui te ramène à une équation du second degré... mais apparemment comme tu ne sais pas les résoudre, tu risques de tourner en rond.

Tu n'as pas étudié le discriminant en cours ? Car c'est plus rapide pour trouver les solutions... Tu es en quelle classe d'ailleurs ?

Pour répondre à Gr3n@d1n3, non nous n'avons pas vue le discriminant et sais justement ce qui m'arrivais; tourner en rond, car j'y avais pensé de faire ceci...

Pour rushia, merci :), je comprends mieux les formules.

J'ai dit tantôt que ça fait 10 ans que je suis à l'école (je suis dans la 10iem année), j'ai 16 ans et j'habite au Québec (Canada) donc c'est pour cela que je ne sais pas en quelle classe je suis pour en Europe

Aussi, je crois que nous avons deja travailler avec le discriminant mais sans en parler, car nous utilions:

<math>\(x= \left(\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}} {2a} \right) et \left(\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}} {2a} \right)\)</math>

(merci aumoins jaurai apris à manipuler un peut lateX grâce a vos exemple... )

Pour calculer les zéros de la fonction général. Et j'ai vue que <math>\(\-b^2-4ac\)</math> est le discriminant...

Mais si dans le font <math>\(m =\left( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right) n=\left( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right)\)</math> alors je n'ai qua prendre ces formule pour les metre dans ma corection... non ?

Tu pourras jamais trouver les racines au pif, elles sont irrationnelles.

On pourrait trouver des solutions (presque) au pif, mais c'est vraiment bizarre (j'avais jamais fais comme ça).
prenons <math>\(m+n = 84\)</math> et <math>\(mn=840\)</math>
Prenons <math>\(m\)</math> et <math>\(n\)</math> sous la forme : <math>\(m = x + \sqrt{y}\)</math> et <math>\(n = x - \sqrt{y}\)</math> on a <math>\(mn = x^2-y\)</math> et <math>\(m+n = 2x\)</math>
D'où <math>\(x = 42\)</math> et donc <math>\(y = x^2-mn = 1764-840 = 924\)</math>
Donc <math>\(m=42+\sqrt{924}\)</math> et <math>\(n=42-\sqrt{924}\)</math> et donc les deux racines sont (il faut diviser par -a, cf mon post plus haut) :
<math>\(\frac{42+\sqrt{924}}{21}\)</math> et <math>\(\frac{42-\sqrt{924}}{21}\)</math>


Edit : en fait, on calcul le déterminant discriminant sans le dire <math>\(x = \frac{b}{2}\)</math> donc <math>\(x^2 = \frac{b^2}{4}\)</math>, de plus <math>\(mn = ac\)</math> donc <math>\(y = x^2-mn = \frac{b^2}{4}-ac = \frac{b^2-4ac}{4} = \frac{\Delta}{4}\)</math>
D'où <math>\(m\)</math> et <math>\(n\)</math> valant <math>\(\frac{b \pm \sqrt{\Delta}}{2}\)</math> et donc les racines habituelles : <math>\(\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)</math>

corriger moi s'il a une erreur:
<math>\(f(x)= 21(x-n)(x-m)\)</math>

<math>\(f(x)= 21 \left( x-\frac{-84+\sqrt{(84)^2-4(-21*-40)}} {2(-21)}\right) \left( x-\frac{-84-\sqrt{(84)^2-4(-21*-40)}} {2(-21)}\right)\)</math>

<math>\(f(x)=21\left(x-\frac{42+2\sqrt{231}} {21} \right)\left(x-\frac{42-2\sqrt{231}} {21} \right)\)</math>

De façon arrondi:

<math>\(f(x)= 21(x-3,45)(x-0,55)\)</math>

(en passant, un grand merci je vois que latex est très utile et plus simple que je pensais )

Donc mon intervalle est:

<math>\(y>2,9\)</math> pour x appartenant à <math>\([0,55 ; 3,45]\)</math>

Donc je viens de résoudre l'inéquation

Presque, le résultat est bon*, mais c'est parce que deux erreurs se compensent (où alors erreur de frappe).
C'est -21 et non 21. Avec 21, tu aurais <math>\(y \leq 2,9\)</math> dans l'intervalle que tu donnes

*<math>\(y \geq 2,9\)</math> et non <math>\(y > 2.9\)</math> si tu donnes les solutions sous forme d'un intervalle fermé [...;...] et non ouvert ]...;...[

mmm.... la formule est bien <math>\(x= \left(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}} {2a} \right)\)</math> ?

et si nous avons <math>\(at^2+bt+c = -21t^2+84t-40\)</math> donc <math>\(2a=2(-21)\)</math> non ?

et tu a raison une faute pour la 2iem ...

edit:

Citation : rushia

Edit : en fait, on calcul le déterminant sans le dire...

toi aussi tu fais des faute :P... "déterminant"... plutôt discriminant

Le discriminant est un déterminant. Celui d'une forme quadratique à vrai dire.
Et en fonction de ton déterminant tu peux savoir si ton équation est une parabole, ellipse ou hyperbole. M'enfin, c'est un détail.

ta pt raison parce que dans sa tu me perd
tu a l'aire de connaître ça Hod parle moi un peut comment on fais pour savoir si c'est une parabole, ellipse ou une hyperbole?

Quand je disais -21 au lieu de 21, je parlais uniquement du 21 qui se trouve devant les deux blocs entre parenthèses (le seul qui se trouve aussi dans le résultat arrondi), pas des autres qui sont corrects (j'aurais du préciser)




Pour l'histoire des paraboles, ellipses et hyperboles, ce sont, sans rentrer dans les détails, des ensembles de points M(x,y) vérifiant une équation du type <math>\(ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\)</math> on appelle la forme quadratique associée <math>\(q(x,y) = ax^2+by^2+cxy\)</math>
Dans un repère bien choisi, une ellipse a une équation <math>\(\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}=1\)</math>, une hyperbole <math>\(\frac{x^2}{a}-\frac{y^2}{b}=1\)</math> et une parabole <math>\(y=ax^2\)</math> qui sont des cas particuliers de l'équation générale (simplifiées grâce au choix du repère). La théorie générale est assez longue et trop complexe pour la détailler ici.