Bonjour,

J'ai des difficultés avec un Devoir d'algèbre, je l'ai hébergé en ligne car il fait une page recto-verso : http://myreader.toile-libre.org/uploads/My_5db22b3c94369.pdf

Pour P2, voici ce que j'ai fait :

- si k pi, avec k dans Z*, alors (x;y;z;t)=(0;0;0;0).

- si /2 + k, avec k alors : x , y, z=0 et t=0. 

- si =/2 + k, avec k alors : (x;y;z;t) ⁴. 

Est-ce que c'est correct ? Je ne trouve pas ça très propre comme disjonction de cas, on n'écrit nul part, si  par exemple... 

Et donc, par exemple, on ne sait pas quoi faire si =4/5, n'est-ce-pas ?

De plus, j'ai réussi la première partie. Pour la deuxième je bloque à II.1, pourriez-vous m'aider svp ? Il faudrait montrer que T(f) est une fonction continue de R dans R, mais comment faire cela ?

Merci beaucoup par avance pour votre aide, j'en ai vraiment besoin...

Bonne soirée.

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Edité par HdghgGdfsgs 26 octobre 2019 à 2:23:24

Pour la première partie, ta disjonction de cas est étrange... Pour le premier cas, est-ce que tu as inversé les signes \(=\) et \(\neq\) ? Parce que si \(\omega=k\,\pi\), alors effectivement la seule solution est le vecteur nul. En fait, tu n'as que deux disjonctions de cas, si \(\sin(\omega)=0\), c'est-à-dire si \(\exists k\in\mathbf{Z},\omega=k\,\pi\), et si \(\sin(\omega)\neq0\). En développant les calculs, tu t'apercevras que si le sinus est nul, tu n'as pas de condition sur \(x\) et \(y\) mais que \(z\) et \(t\) doivent être nuls, et s'il est nul, toutes tes variables doivent nécessairement être nulles.

D'un point de vue plus "algébrique", si le sinus n'est pas nul, alors la matrice est inversible comme matrice triangulaire n'ayant aucun coefficient nul sur la diagonale et on trouve rapidement nos quatre variables. Dans le cas contraire, le rang de ta matrice est \(2\) et tu peux avoir un raisonnement assez similaire.

En ce qui concerne ta deuxième question, je suis assez étonné que tu ne trouves pas

On ne te demande pas de montrer que \(T\) est continue, mais que pour tout \(f\), \(T(f)\) l'est. Tu n'en as en fait même pas besoin, tu dois juste montrer qu'elle est de classe \(\mathscr{C}^1\). Pour cela, pose \(F\) une primitive de \(f\) et exprime \(T(f)\) en fonction de \(F\), tu ne devrais pas avoir de mal après ça, sachant que \(f\) est continue

Merci beaucoup pour votre réponse. Je vais revoir un peu tout pour le préliminaire, je reviens vers vous ensuite. Pareil pour la II.1.

J'ai aussi commencé la II.2.1, mais je bloque encore... Pourtant, je sais qu'il faut montrer que T est une application linéaire, donc :

1. Prendre un vecteur quelconque de E et montrer qu'il est dans E.

2. Pour des vecteurs quelconques de E, montrer que T(lambda*x+y)=lambda*T(x)+T(y).

Mais je n'arrive pas à faire ça sur le papier...

Est-ce que vous pourriez m'aider svp ?

Merci beaucoup !

Pour montrer qu'elle est dans \(E\), utilise la question précédente, et pour le reste essaye de te servir de la linéarité de l'intégrale

J'ai réussi, merci !

Et grâce à vos explications j'ai réussi à finir le préliminaire. Merci beaucoup !

Par contre, pourriez-vous m'aider pour la II.2.1 ?

Je sais qu'on a : T surjective <=> Im(T)=E

Mais comment savoir si l'on a ça ici ?

Merci encore.

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Edité par HdghgGdfsgs 26 octobre 2019 à 21:57:03

Qu'est-ce que tu as fait pour l'instant pour la II.1 ? En théorie, si tu introduis une primitive de \(f\) dans tes calculs tu ne devrais pas avoir de problème.

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Edité par BunshinKage 26 octobre 2019 à 21:55:34

Désolé, je ne sais pas si vous avez vu mais entre temps j'ai réussi et j'ai donc édité mon précédent message.

Voir donc mon précédent message édité pour savoir là où je bloque désormais (II.2.2).

Merci beaucoup pour votre aide !!

À ton avis, \(T\) est-elle surjective ? Si oui, comment montrer que toutes les fonctions de \(E\) sont atteignables ? Sinon, comment montrer qu'il en existe qui ne sont pas atteintes par \(T\) ? Aide-toi de ce que tu as déjà montré !

Je pensais plutôt à celle d'avant

J'ai reussi en utilisant le fait que T(f) est de classe C1, merci !

Par contre, je cherche toujours un exemple de fonction pour II.2.3... Auriez-vous une idee ?

Merci beaucoup pour votre aide.

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Edité par HdghgGdfsgs 27 octobre 2019 à 16:32:03

C'est bien ce qu'il faut utiliser oui. Tu sais que \(T(f)\) est \(\mathscr{C}^1\), quelle que soit \(f\), et tu cherches une fonction qui en peut pas être atteinte par \(T\) qui est dans \(E\).

La fonction valeur absolue convient pour II.2.2, non ?

sin (omega*x) convient pour II.2.3, non ?

Merci beaucoup !

Valeur absolue convient oui

Pour la II.2.3 en revanche, il faut que tu précises \(\omega\).

Pour omega réel et différent de 0, cela convient ?

Non, cela ne marche pas avec \(\omega=1\) par exemple, car ta fonction doit être \(2\)-périodique.

D'accord, alors là je ne vois pas du tout comment définir omega pour que cela fonctionne bien... Pourriez-vous me le died s'il vous plaît ?

Merci beaucoup pour toute votre aide !

Tu sais que \(\sin\) est \(2\pi\)-périodique. En utilisant ce fait, tu peux trouver la période de la fonction \(x\mapsto\sin(\omega\,x)\) en fonction de \(\omega\), et en déduire \(\omega\) pour que cette fonction soit \(2\)-périodique.

C'est ceci que je ne comprends pas : comment trouver la période de la fonction x-> sin (Omega × pi) ?

Merci beaucoup pour l'aide, je sens que je progresse grâce à vous !

Écris la définition de la période \(T\) pour cette fonction, puis identifie les termes

Voici ce que j'ai fait :

sin(w(x+T))=sin(wx + wT). Pour qu'elle soit périodique on doit avoir wT=2 pi.

Est-ce que je suis sur la bonne voie ?

C'est même exactement ce qu'il faut faire, puisque tu connais \(T\) tu peux en déduire \(\omega\)

Ah oui, effectivement ! Donc je poursuis :

On doit avoir wT=2 pi.

Et comme T=2, alors w=pi.

Mais il n'y a pas quelque chose du type pi +k pi avec k appartenant à Z ?

Même si là on a besoin que d'une fonction, j'aimerais être sûr de bien comprendre...

Merci encore.

En fait, tu peux voir \(\omega\) comme une fonction de \(T\). Tu choisis ta période, et tu obtiens \(\omega\), par la relation

\[\omega=\frac{2\,\pi}{T}\]

Sachant que ta période est par définition strictement positive, tu peux voir que cette fonction est en réalité bijective sur \(\mathbb{R}_+^*\). Il n'y a donc qu'un seul \(\omega\) qui correspond à une période donnée.

En ce qui concerne le \(\pi+k\pi\) que tu as en tête, c'est généralement ce qui traduit la périodicité de \(\sin\). Lorsque l'on veut résoudre une équation du type \(\sin(x)=y\), alors dû à la périodicité de \(\sin\), tu vas devoir considérer toutes les solutions de la forme \(z+2\,k\,\pi\) avec \(z\) une solution que tu as trouvée (il y a d'autres solutions que l'on peut voir sur le cercle trigonométrique, mais la question n'est là).

D'accord, donc il y a uniquement w=pi qui convient ? C'est la seule et unique solution ?

Ensuite, la question suivante où je bloque est la III.1 : on sait que (01, 02, 03, 04) est une famille génératrice d'après l'énoncé, mais comment montrer qu'elle est libre ?

Merci beaucoup.

Non, pour être précis, \(\omega=-\pi\) convient également. Si tu veux exprimer ta fonction sous la forme \(x\mapsto\sin(\omega\,x)\), ce sont les seules solutions en effet, mais l'ensemble en question ne contient pas que ces deux fonctions.

Écris la définition d'une famille libre pour commencer, puis tu as plusieurs méthodes en utilisant les propriétés des fonctions sur lesquelles tu travailles.

Merci beaucoup pour la réponse.

Si (a,b,c,d) sont des scalaires réels et a×01+b×02+c×03+d×04=0 de Fw.

alors : a=b=c=d=0.

C'est bien cela que l'on veut montrer ? Et c'est quoi exactement "0 de Fw" ?

C'est bien ce que l'on veut montrer oui. Le \(0\) de \(F_\omega\), c'est l'élément neutre pour l'addition dans l'espace vectoriel \(F_\omega\). Autrement dit, c'est un élément de \(F_\omega\) tel que :

\[\forall f\in F_{\omega}, f+0=f\]

Cet élément est unique. Est-ce que tu sais à quelle fonction de \(F_\omega\) il correspond ?

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Edité par BunshinKage 28 octobre 2019 à 15:51:46

Non justement, je ne vois pas à quelle fonction cela correspond...

Généralement, quand on parle d'élément neutre d'un espace vectoriel, la définition est assez intuitive. Pour \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{C}\), c'est simplement \(0\). Pour \(\mathbb{R}[X]\), c'est le polynôme nul, à savoir \(0\), etc...