G un groupe de type fini et H un sous groupe de G avec G/H fini, H est il de type fini?

Edit: C'est pas du tout le poste initiale alors j'ai mis un exercice qui me trottais dans la tête.

Si H n'était pas fini, pourrait-il être un sous-groupe de G, qui lui est fini ?

Bonsoir,

Citation : elf32

Si H n'était pas fini, pourrait-il être un sous-groupe de G, qui lui est fini ?

on parle ici de groupe de type fini et non de groupe fini ( cad ayant un système générateur fini)
Donc G n'est pas fini a priori

En fait la réponse à la question ne me semble pas du tout triviale;

Edit
il me semble que la question est bien de savoir si cette condition G/H fini est suffisante .
Car sans cette condition, il me semble que un sous groupe H d'un G de type fini peut ne pas être de type fini.
Par exemple, j'ai souvenir (?) qu' un groupe libre à deux générateurs a des sous groupes ayant un système de générateur non fini
(...à confirmer par ceux pour qui c'est plus frais en mémoire que chez moi!)

Ah je vois. je n'en savais rien, désolé, j'ai un peu profité du topic pour demander (et y être abonné).

Citation : nabucos

Bonsoir,
Par exemple, j'ai souvenir (?) qu' un groupe libre à deux générateurs a des sous groupes ayant un système de générateur non fini

Oui, il existe des sous-groupes de <math>\(\mathbb{F}_2\)</math> avec une infinité (dénombrable) de générateurs:par exemple, son sous-groupe dérivé.

Sinon, pour répondre à la question: oui, si le quotient d'un groupe de type fini par un de ses sous-groupe est fini, alors ce sous-groupe est de type fini. Voici un lien vers une démo de ce résultat (de l'époque non latex, ça pique les yeux ) - vers la fin de la page 7.

Bonjour,
@sylpro
Je suis allé voir dans ton lien
dans une recherche sommaire sur la question sur le Net, je n'avais pas trouvé de preuves explicites ...tout en étant tombé par hasard sur ta référence.
..je dois avouer qu'à la vue du contenu, je n'avais pas eu la curiosité d'aller jusqu'à l'appendice en page 7!